Связь между слабой и сильной дифференцируемостью

Сильная и слабая дифференцируемость представляют собой различные понятия даже в случае конечномерных пространств. Действительно, из анализа хорошо известно, что для числовой функции

f(x) = f(x_1,…,x_n)

при n 2 из существования производной

при любом фиксированном h = (f_1,...,f_n) еще не следует диф- ференцируемость этой функции, т. е. возможность представить ее приращение f(x+h)- f(x) в виде суммы линейной (по h) части и члена выше первого порядка малости относительно h.

Простейшим примером здесь может служить функция двух переменных

(11)

Эта функция непрерывна всюду на плоскости, включая точку (0,0). В точке (0,0) ее слабый дифференциал существует и равен 0, поскольку

Вместе с тем этот дифференциал не является главной линейной частью приращения функции (11) в точке (0,0). Действительно, если положить h₂=h₁², то

Однако если отображение F имеет сильную производную, то оно имеет и слабую, причем сильная и слабая производные совпадают. Действительно, для сильно дифференцируемого отображения имеем

А(ч + ер) -- А (ч) = Аэ (ч) (ер) + о (ер) = еАэ (ч)р +о (ер) и

Выясним условия, при которых из слабой дифференцируемости отображения F следует его сильная дифференцируемость.

Теорема 1. Если слабая производная F_c (х) отображения F существует в некоторой окрестности U точки х₀ и представляет собой в этой окрестности (операторную) функцию от х, непрерывную в x₀, то в точке x₀ сильная производная F(x₀) существует и совпадает со слабой.

Доказательство. По е>0 найдем д>0 так, чтобы при ||h||< д бвыполнялось неравенство:

|| F_c(x_o + h)-F_c(x_o) || е

Применив к отображению F формулу (10), получим:

|| F(x₀ + h)-F (х_о) - F_c (х_о) h || ||F_c(x_o + иh)- F_c(x_o)||

||h|| е||h||

Тем самым имеет место теорема 1, т. е. доказано как существование сильной производной F(x_о), так и ее совпадение со слабой производной.