Дифференцируемые функционалы

Мы ввели дифференциал отображения F, действующего из одного нормированного пространства X в другое нормированное пространство У. Производная F(х) такого отображения при каждом х -- это линейный оператор из X в У, т. е. элемент пространства о(X, У). В частности, если У -- числовая прямая, то F -- принимающая числовые значения функция на X, т. е. функционал. При этом производная функционала F в точке х₀ есть линейный функционал (зависящий от х₀), т. е. элемент пространства X*.

Пример. Рассмотрим в действительном гильбертовом пространстве Н функционал F(x) = ||х||². Тогда

||x + h||²-||x||² = 2(x, h) + || h ||²;

величина 2(x,h) представляет собой главную линейную (по h) часть этого выражения, следовательно,

F (x) = F_c(x) = 2х.