Сильный дифференциал (дифференциал Фреше)

Пусть X и У -- два нормированных пространства и F -- отображение, действующее из X в Y и определенное на некотором открытом подмножестве О пространства X. Мы назовем это отображение дифференцируемым в данной точке, если существует такой ограниченный линейный оператор L_xж (X, Y), что для любого е> 0 можно найти д > 0, при котором из неравенства ||h||< д следует неравенство

|| F(x + h)-F(x)-L_xh ||<е||h|| (1)

То же самое сокращенно записывают так:

А(ч + р)-А(ч)-Д_чр = щ(р)ю(2)

Из (I) следует, что дифференцируемое в точке х отображение непрерывно в этой точке. Выражение L_xh (представляющее собой, очевидно, при каждом hX элемент пространства У) называется сильным дифференциалом (или дифференциалом Фреше) отображения F в точке х. Сам линейный оператор L_x называется производной, точнее, сильной производной отображения F в точке х. Мы будем обозначать эту производную символом F(x).

Если отображение F дифференцируемо в точке, то соответствующая производная определяется единственным образом. В самом деле, равенство

||L₁h -- L₂h|| = o(h) для операторов

L_i ж (X, У), i = 1, 2,

возможно, лишь если L₁= L₂.

Установим теперь некоторые элементарные факты, непоcредственно вытекающие из определения производной.

Если F(x) = y₀ = const, то F(x) = О (т. е. F(х)

в этом случае есть нулевой оператор).

Производная непрерывного линейного отображения L есть само это отображение:

L (x)=L (3)

Действительно, по определению имеем

L(x + h)-L(x) = L(h).

3. (Производная сложной функции). Пусть X, У, Z -- три нормированных пространства, U(x0)--окрестность точки х₀Х, F -- отображение этой окрестности в У, у₀ = F(x₀), V(y_o) -- окрестность точки у₀ У и G -- отображение этой окрестности в Z. Тогда, если отображение F дифференцируемо в точке х_о, a G дифференцируемо в точке у_о, то отображение Н = GF (которое определено в некоторой окрестности точки х₀) дифференцируемо в точке х_о и

H (x₀)=G (y₀)F (x₀) (4)

Действительно, в силу сделанных предположений

А(ч₀ +о) = А(ч₀) + Аэ (ч₀) о +о₁ (о ) и

G (у_о + з) = G (у_о) + G (у_о) з + о₂ (з).

Но F(x₀) и G(y_o) -- ограниченные линейные операторы. Поэтому

H (х₀ + о) = G (у_о + F (x₀) о + о₁ о ) = G (у_о) + G (у₀) (F (х₀) о + +о₁ о)) +

+о₂ (F (x₀) о + о₁ (о )) = G (у₀) + G (уо) F (х₀) о + о₃ (о).

Если F, G и Н -- числовые функции, то формула (4) превращается в известное правило дифференцирования сложной функции.

4. Пусть F и G -- два непрерывных отображения, действующих из X в Y. Если F и G дифференцируемы в точке х₀, то и отображения F + G и aF (а -- число) тоже дифференцируемы в этой точке, причем

(F + G)(х₀) = F(х₀) + G(х₀) (5)

(aF)(x₀) = aF(x₀).(6)

Действительно, из определения суммы операторов и произведения оператора на число сразу получаем, что

(F+G)(x₀ + h) = F(x₀ + h) + G(x₀ + h) = F (х₀) + G (х₀) + F (х₀) h +

+G (х₀) h + o₁ (h) и

aF (x₀ + h) = aF (x₀) + aF (x₀) h + o₂ (h),

откуда следуют равенства (5) и (6).