logo
Дифференцирование в линейных нормированных пространствах

Формула Тейлора

Сильная дифференцируемость отображения F означает, что разность

F(x+h)--F(x)

может быть представлена в виде суммы линейного члена и слагаемого, имеющего порядок выше первого относительно ||h||. Обобщением этого факта является формула, аналогичная формуле Тейлора для числовых функций.

Теорема 2. Пусть F -- отображение, действующее из X в У, определенное в некоторой области ОX и такое, что F(n)(x) существует и представляет собой равномерно непрерывную функцию от х в О. Тогда имеет место равенство

f(x + h)-F(x) = F(x)h + F"(x)(h, h)+ ...

... +F(n)(x)(h,…,h) + щ (х, h), (21)

где

Доказательство будем вести по индукции. При n = 1 равенство (21) тривиально. Возьмем теперь произвольное фиксированное n и предположим, что равенство, получающееся из (21) заменой n на n-1, уже доказано для всех отображений, удовлетворяющих условиям теоремы, в которых n заменено на п-1. Тогда для отображения F имеем

F(x + h) = F(x) + F"(x)h + F"(x)(h,h) + ...

… + F(n)(x)(h,…,h) + щ1 (х, h), (22)

где

||щ1 (х, h)|| = o(||h||n-1)

Интегрируя обе части равенства (22) по отрезку [х, x+h] и пользуясь формулой Ньютона -- Лейбница (15), мы получим

, (21)

Где

.

из (23) получаем

А(ч+ р)-А (х)= Аэ(ч)р + АЭ(ч)(рбр)+ ююю

…+F(n)(x)(h,…,h) + Rn, причем

||Rn||

Тем самым наше утверждение доказано.

Формулу (21) называют формулой Тейлора для отображений.

Yandex.RTB R-A-252273-3
Yandex.RTB R-A-252273-4