Формула Тейлора
Сильная дифференцируемость отображения F означает, что разность
F(x+h)--F(x)
может быть представлена в виде суммы линейного члена и слагаемого, имеющего порядок выше первого относительно ||h||. Обобщением этого факта является формула, аналогичная формуле Тейлора для числовых функций.
Теорема 2. Пусть F -- отображение, действующее из X в У, определенное в некоторой области ОX и такое, что F(n)(x) существует и представляет собой равномерно непрерывную функцию от х в О. Тогда имеет место равенство
f(x + h)-F(x) = F(x)h + F"(x)(h, h)+ ...
... +F(n)(x)(h,…,h) + щ (х, h), (21)
где
Доказательство будем вести по индукции. При n = 1 равенство (21) тривиально. Возьмем теперь произвольное фиксированное n и предположим, что равенство, получающееся из (21) заменой n на n-1, уже доказано для всех отображений, удовлетворяющих условиям теоремы, в которых n заменено на п-1. Тогда для отображения F имеем
F(x + h) = F(x) + F"(x)h + F"(x)(h,h) + ...
… + F(n)(x)(h,…,h) + щ1 (х, h), (22)
где
||щ1 (х, h)|| = o(||h||n-1)
Интегрируя обе части равенства (22) по отрезку [х, x+h] и пользуясь формулой Ньютона -- Лейбница (15), мы получим
, (21)
Где
.
из (23) получаем
А(ч+ р)-А (х)= Аэ(ч)р + АЭ(ч)(рбр)+ ююю
…+F(n)(x)(h,…,h) + Rn, причем
||Rn||
Тем самым наше утверждение доказано.
Формулу (21) называют формулой Тейлора для отображений.
Yandex.RTB R-A-252273-3- Введение
- Основные понятия
- Сильный дифференциал (дифференциал Фреше)
- Слабый дифференциал (дифференциал Гато)
- Формула конечных приращений
- Связь между слабой и сильной дифференцируемостью
- Дифференцируемые функционалы
- Абстрактные функции
- Интеграл
- Производные высших порядков
- Дифференциалы высших порядков
- Формула Тейлора
- Заключение
- 1.4.4. Нормированные линейные пространства
- 8.4. Нормированные пространства
- Линейные нормированные пространства Основные понятия и примеры
- Изоморфные и изометричные линейные нормированные пространства
- Компактность в линейных нормированных пространствах
- Линейные нормированные пространства
- Линейное пространство. Аксиомы линейного пространства. Нормированное пространство. Банаховы пространства.
- § 2. Нормированные линейные пространства
- 18.Метрические, линейные, нормированные, евклидовы пространства.