§ 2. Нормированные линейные пространства

Нормированным линейным пространством называется вещественное или комплексное линейное пространство, на котором задана норма, т. е. функция ||х||:Х^г ® R,

удовлетворяющая аксиомам: Н1. Неотрицательность:

"xе X [|| x|| > 0 ]. Н2. Отделимость:

||x|| = 0 ^ x=q.

Н3. Абсолютная однородность: "xе X"Ле P[\\1x\\ = |1|Jx\\]. Н4. Субаддитивность (неравенство треугольника):

"x, Jе X[||x + j|| < \\x\\ j||].

202

Функция р( x, y ) = ||x - y|| является метрикой на X, поэтому нормированное линейное является метрическим линейным пространством. Отсюда следует, что в нормированных линейных пространствах имеют место понятия и результаты, касающиеся окрестностей, специальных точек множеств, открытых и замкнутых множеств, сходимости, непрерывности и т. п. Как и в общих метрических, в линейных нормированных пространствах сходимость по данной норме дает единственный предел. Может иметь место сравнимость сходимостей: сильнее - слабее. Рассматриваются также полные по данной норме пространства, которые называются банаховыми в честь С. Банаха. Как и метрика, норма является непрерывной функцией:

^xn ^— ^ ^x0 ^ 11 ^xn II HI ^x0 II .

В нормированных линейных пространствах на ряду со сходимостью по данной норме также рассматривается так называемая слабая сходимость:

xn xo::= l (xn)—l (xo )"lе X' xo.

Здесь l означает непрерывный линейный функционал на X, а X' - множество всех таких l топологически сопряженное к X пространство. Сходимость по норме также называется сильной сходимостью. Всегда из сильной следует слабая сходимость. Аналогично метрическим пространством, задавая на линейном пространстве различные нормы, мы получаем различные нормированные линейные пространства.

Примеры

I. X = Rⁿ, x =( x_b x₂,..., x_n ).

1. || x|| = max | x_k |. Это пространство обозначается R,

k=1+n

банахово. Другое обозначение: m_n.

n

2. II x|| = £| x_k |Обозначение: Rⁿ, банахово.

k=1

f n Л2

3. ||x|| = I £ Xt Это Eⁿ, или R2, банахово.

V k=1 J

II. X = C [ a, b ]

1. II x(t)|| = max | x(t) | Обозначение: C[ a, b], банахово.

fe[a,b]

b

2. || x( t)|| = (R) J| x(t) \dt. Обозначение: C_L[a, b], Qa, b]

(R)Jx²(t)dt. Обозначение: C_E[a, b], C₂[a, b]

Неполно по этой норме.