Формула конечных приращений

Пусть О -- открытое множество в X и пусть отрезок [х₀, х] целиком содержится в О. Пусть, наконец, F есть отображение X в У, определенное на О и имеющее слабую производную F_c в каждой точке отрезка [х₀, x]. Положив Дх = х -- х_о и взяв произвольный функционал У*, рассмотрим числовую функцию

f(t) = (F(x₀+t Дх)),

определенную при .Эта функция дифференцируема по t. Действительно, в выражении

можно перейти к пределу под знаком непрерывного линейного функционала. В результате получаем

F(t) = (F_c(x₀+tДx) Дx)

Применив к функции f на отрезке [0, 1] формулу конечных приращений, получим

f(l) = f(0) + f(и), где 0< и <1,

(F(x)-F(x₀))= ( F_c(x₀+ и Дx) Дx)(7)

Это равенство имеет место для любого функционала У* (величина и зависит, разумеется, от). Из (7) получаем

|(F(x)-F(x₀))| || F_c(x₀+ и Дx)|| || Дx|| (8)

Выберем теперь ненулевой функционал так, что

(F (х) - F (х₀)) = |||| || F (х) - F (хо) ||

(такой функционал существует в силу следствия 4 теоремы Хана -- Банаха (см. п. 3 § 1 гл. IV)). При этом из (8) получаем

||(F (х) - F (x)|| || F_c(x₀+ и Дx)|| ||Дx|| (Дx =x-x₀) (9)

Это неравенство можно рассматривать как аналог формулы конечных приращений для числовых функций. Применив формулу (9) к отображению

х --Ю А (х) -- Аэс (х_о) Дч

получим следующее неравенство:

||F(x-F(х_о)-Fc (х_о) Дx || || F_c(x_o+иДx) -F_c(x₀) |||| Дx || (10)