18.Метрические, линейные, нормированные, евклидовы пространства.

Функции многих переменных:

Пусть у=f(x), D(f)=XR, Е(f)=YR

Y=f(x1, x2, … xn) это точки n-мерного Эвклидового пространства

Метрические пространства.

На множестве Х определена фигура метрического пространства, если задана функция (x,y) двух произвольных элементов этого множества, удовлетворяющих следующим аксиомам:

1. (x,y)=0 тогда и только тогда, когда x=y

1.(x,y)(x,z)+(z,y) (неравенство )

(х,y) функция метрики или функция расстояния между точками х и у, принадлежащих Х.

Т.о. метрическое пространство R образует множество Х, с введенной на этом множестве функции расстояния метрического пространства R=(X, ). Если положим, что х=у, то 0(x,z)+(z,y)

Р(x,y) функция метрики или функция расстояния между точками х и у, принадлежащих Х. Т.о. метрическое пространство R образует множество Х, связанной на этом множестве функции расстояния метрического пространства R=(X,р)

Если положим, что х=у, то 0р(xz)+p(z,x)

2p(x,z)>0 метрика не отрицательна

Введем понятие n-мерного координатного пространства Аⁿ

Def M-мерным координатным пространством А^m называется множетсво всевозможных упорядоченных совокупностей m действительных чисел (x1, x2, x3,…, xm)

Каждую упорядоченную совокупность (x1, x2,…,xm) называют точкой этого пространства и обозначают одной буквой М, при этом числа x1, x2, …,xn называются координатами точки М, что символически записывается так М( x1, x2,…xn)

Чтобы множество Х было метрическим пространством нужно:

Выберем в качестве множества Х n- мерное координатное пространство, возьмем люые х,у принадлежащие этому пространству. Х(х1…хn), y(y1..yn)

Введем функцию расстояния на Х между х и у. Р(х,у)=

Линейное пространство L

Множество элементов L, содержащее хотя бы один элемент, называется линейным или векторным пространством, если выполнены следующие аксиомы:

1)Любые x,y принадлежат L, однозначно определен 3 элемент z, называемый их суммой, обозначаемый z=x+y, причем справедливые следующие свойства:

А) х+у=у+х (ассоциативность)

Б) (х+у)+z=x+(y+z)

В) Существует элемент (его обычно обозначают за 0) такой, что x+0=X

Г) Существует элемент Х, называемый противоположным, такой что x+x’=0

2) Для любого числа  и любого элемента х принадлежащего L определен элемент у из множества L= x при этом справедливы следующие свойства:

(^х)=()^х

(+)х=х+х

(х+у)=х+у

1*x=x

х=х, где  некоторые числа, х и у точка множества L. Если в аксиоме  и  принадлежат множеству вещественных чисел, то множества L называется действительным линейным пространством

Нормированное пространство N

Возьмем функция f(x)=||x||, ставящая каждому элементу х из множества L в соответствие вещественное число x принадлежащее L – называется нормой в линейном пространстве L, если выполнены следующие аксиомы:

1.f(x)=||x||=0 тогда и только тогда, когда х=0

1.f(х)=||*||x||=||*f(x)

2.f(x+y)=||x+y||||x|| +||y||=f(x)+f(y)

Пространство L, сведенное на этом множестве функцией норма X называют нормированным пространством и обозначают через N. ||x||>0

Следует отметить, что в любом норм. Пространстве может быть введена функция расстояния (x,y)=||x*y|| как норма элемента х и у.

Def Координатное пространство Аⁿ называют n- мерным евклидовым пространством, если между двумя любыми точками х(х1, х2, …, хn) и у(у1, у2…уn) введена функция расстояния р(х,у) по формуле р(х,у)=

Обозначается n- мерное Евклидово пространство через Еⁿ

Следует отметить, что в этом пространстве могут быть ||x-y||=p(x,y)

Метрические пространства.

Будем говорить, что на множестве Х определена структура метрического пространства, если задана ф-я (х,у) двух элементов х,уХ, удовлетворяющих следующим аксиомам:

1.(х,у)=0 тогда и только тогда, когда х=у

2.(х,у)=(у,х) – аксиома симметрии

3.(x,z)(x,y)+(x,z)

Ф-я (х,у) – метрика или ф-я расстояния между точками х,уХ.

Т.о. метрическое пространство R=(X,): ф-я Х с введенной на этом множестве функцией метрикой.

(х,х)(х,у)+(у,х)

02(х,у)

(х,у)0

Примеры:

1).X=R=E¹ (множество рациональных чисел)

(х,у)=|х-у| - удовлетворяет условиям.

2). n-мерным пространством Аⁿ называют множество всевозможных упорядоченных совокупностей n вещественных чисел (х₁, х₂,…,х_n). Каждую упорядоченную совокупность называют точкой n-мерного пространства, а точки х₁, х₂,…,х_n – координатами точки. На Аⁿ, например, метрика:

n

(х,у) = ((x_i-y_i)²)^1/2

i=1

Линейные пространства.

Множество элементов L, содержащее хотя бы 1 элемент называется линейным или векторным пространством, если выполнены следующие аксиомы:

1. Аксиомы сложения. Для любых двух элементов х,уL однозначно определен третий элемент z, называемый их суммой и обозначаемый z=x+y, и справедливы следующие свойства:

а)х+у = у+х

б)(x+y)+z = x+(y+z)

в) элемент, называемый нулевым и обозначаемый 0, такой, что для любых хL: х+0 = х

г) Для любого хХ  элемент х¹, называемый противоположным, такой, что х+х¹ = 0

2. Аксиомы умножения на число. Для любого числа а и любого хL, определен элемент уL, называемый умножением числа а на элемент х и обозначаемый а*х, обладающий следующими свойствами (для любых чисел а, b и любых х,уL):

а) a(bx) = ab(x)

б) (a+b)x = ax+bx

в) a(x+y) = ax+ay

г) 1*x = 1

Замечание: если в аксиомах 2 a,bR, то линейное пространство называют действительным или вещественным линейным пространством.

Примеры:

1). А¹=R. В кач-ве операций сложения – сложение вещественных чисел; в кач-ве операций умножения – умножение вещественных чисел .

2). Aⁿ

1)а) z = x+y = (x₁+y₁, x₂+y₂,…,x_n+y_n) и так далее все свойства 1) и 2) групп по аналогии.

Нормированные пространства.

F(x) = ||x|| - “норма икс”, ставящая в соответствие любому хL (линейн. простран.) вещественное число ||х||, наз. нормой в лин. Пространстве, если она удовлетворяет следующим аксиомам:

1. ||х|| = 0 тогда и только тогда, когда х = 0

2. f(ax) = ||ax|| = ||a||*||x|| = |a|*f(x)

3. f(x+y) = ||x+y||  ||x||+||y|| = f(x)+f(y) (x,y - точки)

N – нормированное пространство.

||x||0

В любом N может быть введена ф-я метрики (x,y) = ||x-y|

Пример: А¹=R=L. F(x) = ||x||=|x| - удовлетворяет условиям.

n-мерное Евклидово пространство.

Координатное пространство Аⁿ называют n-мерным Евклидовым пространством и обозначают Еⁿ, если между двумя его точками ХЕⁿ и YЕⁿ введена ф-я расстояния (х,у) по формуле:

n

||x|| = ((x_i-y_i)²)^1/2

i=1

Еⁿ можно считать нормированным пространством, у которого

||x-y|| = (x,y)