Основные понятия

Определение 1. Непустое множество называется линейным пространством, если оно удовлетворяет следующим условиям:

Й. Для любых двух элементов однозначно определен элемент , называемый их суммой, причем

1. (коммутативность)

2. (ассоциативность)

В существует такой элемент 0, что для всех

4. Для каждого существует такой элемент , что .

II. Для любого числа и любого элемента определен элемент , причем

5.

6.

III. Операции сложения и умножения связаны между собой дистрибутивными законами:

7.

8.

Определение 2. Линейное пространство называется нормированным, если на нем задана неотрицательная функция , называемая нормой, удовлетворяющая условиям:

для любого и любого числа ;

для любых (неравенство треугольника).

Определение 3. Оператором называется отображение

,

где - это линейные пространства.

Определение 4. Оператор называется линейным, если для любых элементов и любых чисел R выполняется равенство:

Определение 5. Пусть - линейные нормированные пространства,

- линейный оператор,

Линейный оператор непрерывен в точке , если из того, что

следует, что .

Определение 6. Линейный оператор непрерывен, если он непрерывен в каждой точке .

Определение 7. Линейный оператор называется ограниченным, если

Утверждение. Для линейного нормированного пространства непрерывность линейного оператора равносильна его ограниченности.

Определение8. Наименьшая из констант M таких, что , называется нормой оператора А и обозначается .

В частности, выполняется

Справедливо следующее утверждение: для любого ограниченного линейного оператора