2.1 Определение интеграла Стилтьеса

Пусть в промежутке заданы две ограниченные функции и . Разложим точками

(1)

промежуток на части и положим . Выбрав в каждой из частей по точке, вычислим значение функции и умножим его на соответствующее промежутку приращение функции

.

Наконец, составим сумму всех таких произведений:

. (2)

Эта сумма носит название интегральной суммы Стилтьеса.

Конечный предел суммы Стилтьеса при стремлении к нулю называется интегралом Стилтьеса функции по функции и обозначается символом

. (3)

Иной раз, желая особенно отчетливо подчеркнуть, что интеграл рассматривается в смысле Стилтьеса, употребляют обозначение

Предел здесь понимается в том же смысле, что и в случае обыкновенного определенного интеграла. Точнее говоря, число называется интегралом Стилтьеса, если для любого числа существует такое число , что лишь только промежуток раздроблен на части так, что , тотчас же выполняется неравенство

,

как бы не выбирать точки в соответствующих промежутках.

При существовании интеграла (3) говорят также, что функция в промежутке интегрируема по функции .

Читатель видит, что единственное (но существенное) отличие данного выше определения от обычного определения интеграла Римана состоит в том, что умножается не на приращение независимой переменной, а на приращение второй функции. Таким образом, интеграл Римана есть частный случай интеграла Стилтьеса, а когда в качестве функции взята сама независимая переменная :

.