§ 2. Интеграл Стилтьеса

Т. Стилтьес (1854-1894) - голландский математик.

Пусть f (x) и g(x) ограничены на отрезке [ a; b]. Выполним

(T) -разбиение [ a; b]. Обозначим Dg_k = g(x_k+1) - g(x_k).

Выберем c_k е[ x_k; x_k+1 ]. Составим интегральную сумму

Стилтьеса:

n-1

(T) = ^ f(ck)Dgk.

k=0

Если при l(T) 1 03^1^01 _Q S_s(T) = I₅, то число I₅ называется

интегралом Стилтьеса от функции f(x) по функции g(x) на

b

отрезке [ a; b]. Запись: I_s = (S)J f(x)dg(x).

a

Аналогично интегралу Римана вводятся суммы Дарбу-Стилтьеса и интегралы Дарбу-Стилтьеса. Интеграл Римана есть частный случай интеграла Стилтьеса при g( x) = x.

Свойства интеграла Стилтьеса:

b

1⁰. (S) j dg(x) = g(b) - g(a) .

a

2⁰. (5)J(f(x) ± j(x))dg(x) = (S) J f (x)dg(x) ± (S) j(x)dg(x).

a a a

b b b

3⁰. (S)J f(x)d(gi(x) ± g2(x)) = (S)J f(x)dgi(x) ± (S)J f(x)d^(x).

a a a

bb

4⁰. (S)jW(x)dg(x) = a(S)J f(x)dg(x).

aa bb

5⁰. (S)J f(x)d(bg(x)) = b(S)J f(x)dg(x).

aa

b

6⁰. g(x) ° ccwsf на отрезке [ a; b] ^ (S)J f(x) fg(x) = 0.

a

b

c

7⁰. a < c < b ^ (S)J f(x)dg(x) = (S)J f (x)dg(x) + (S)J f (x)dg(x).

a a c

8⁰. Если maX f(x) \ = M(f), g(x)- ФОВ на отрезке [ a; b], то

a<x<b

b

(S)J f(x)dg(x)

a

Доказательства аналогичны интегралу Римана и получаются легко из рассмотрения соответствующих интегральных сумм.

Рассмотрим проблемы существования и вычисления интеграла Стилтьеса.

Теорема 1

Если f(x) непрерывна на отрезке [ a; b ], а g(x) есть ФОВ

b

на отрезке [ a; b], то (S)J f(x)dg(x) существует.

a

Доказательство

b

< M(f)V(g).

)

возрастает на отрезке [ a; b]. Выполним (T) - разбиение [ a; b]. m_k и m_k имеют тот же смысл, что и для интеграла Римана. Составим нижнюю и верхнюю интегральные суммы

n—1 _ n—1

Дарбу-Стилтьеса. S(T) = £ m_kAg_k, S (T) = £ m_kAg_k. Они

к=0 к=0

имеют свойства, аналогичные свойствам сумм Дарбу для

интеграла Римана. Обозначим I = sup{S(T)}.

т

Поскольку S(T) < I < S(T) и S(T) < S(T) < S(T), то | S(T) — I| < S(T) — S(T). В силу равномерной непрерывности f(x) на отрезке [ a; b], для "f > 038 > 0 : | x** — x* | < 8 ^ ^ I f (x**) — f( x*) < f.

Следовательно, при l(T) <8 будет w_k = m_k — m_k < f. Значит, S(T) — S(T) < f(g(b) — g(a)).

Получаем: |S(T) — I| < f(g(b) — g(a)); это означает, что

b

3 Ji® S(T) = I, т. е. I = (S) j f(x)dg(x).

a

Теорема доказана. Теорема 2

Если f( x) непрерывна на отрезке [ a; b ], g( x)

дифференцируема на отрезке [ a; b], а g'(x) интегрируема по

Риману, то интеграл Стилтьеса существует, причем bb (S)j f(x)dg(x) = (R)j f(x)g(x)dx.

aa

Доказательство

В силу интегрируемости g (x) она ограничена на отрезке

[ a; b ]. Следовательно, g(x) есть функция с условием Липшица,

а значит, есть ФОВ. f( x) g( x) на отрезке [ a; b ] почти всюду

непрерывна. Следовательно, оба интеграла существуют. Покажем, что они равны.

Для произвольного (T) - разбиения [ a; b] к

Dg_k = g(x_k+1) - g(x_k) применим формулу Лагранжа:

^Dgk = g'^{( x}*^)Dxk^{, x}k < ^x* < ^xk+1.

Поскольку интегралы существуют, то можно брать c_k произвольно из [ x_k; x_k+1 ]. Положим c_k = x*.

n-1 n-1

^Тогд^а Ss ^(T) = Z ^{f( X}D^Agk = Z ^f( g'^{( X}*^)Dxk = ^(T) дл^я

k=0 k=0

функции j(x) = f (x)g'(x). Переходя к пределу l(T) ® 0, получаем требуемое равенство. Теорема доказана.

Эта теорема дает возможность во многих случаях сводить вычисления интеграла Стилтьеса к вычислению интеграла Римана. Нередко встречается специальный случай для g(x) .

Теорема 3

Пусть f(x) непрерывна на отрезке [ a; b], а g(x) - ступенчатая (кусочно-постоянная) с точками перехода a < q < c₂ < ... < c_m < b. Тогда

b

(S) j f(x)dg(x) = f (a)(g(a + 0) - g(a)) +

a

m

+Z f (ck) (g(ck + 0) - g(ck - 0)) + f (b)(g(b) - g(b - 0)).

k=1

Эта формула устанавливается непосредственным рассмотрением S_s (T).

В некоторых случаях целесообразно поменять местами f(x) ^и g^{( x)}.

Теорема 4 (интегрирование по частям)

b b (S)J f(x)dg(x) = f(x)g(x)|a- (S)Jg(x)df(x).

a a

Доказательство

b

Пусть существует (S)J f(x)dg(x).

a

Рассмотрим интегральную сумму:

n-1

Ss(T) = Г f (Ck)(g(xk+1) - g(xk)) =

k=0

n-1 n-1

= Z ^f(Ck⁾g^(xk+1^{) -} Z ^f(Ck⁾g^(xk⁾ .

k=0 k=0

Отсюда

n-1

S (T ) = -Z g (xk)( f ( Ck )-f ( Ck -1 )) +

k=0

+ ^f ( ^Cn-1 ) g ( ^xn )^{- f} ( ^C0 ) g ( ^x0 ) .

Прибавим и вычтем в правой части f(x)g(x)|a = g(b) f (b) - g(a) f (a). Тогда

_b n-1

S(T) = f (x)g(x)| - (g(a)( f (C0) - f (a)) + Z g(xk)( f(C_k) -

^a k=1

- f (Ck-1)) + g(b)( f (b) - f (Cn-1))).

b

Это интегральная сумма для J g(x)df(x) с (T₁) - разбиением

a

^a < ^C0 < C < .. < ^Cn-1 < ^b.

Точки a,x₁,..., x_n-1, b входят в соответствующие частичные сегменты. Если Ax_k ® 0, то и AC_k ® 0. Переходя к пределу, получаем требуемое равенство. Теорема доказана

.

В заключение рассмотрим предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса.

Теорема 5

Пусть f_n(x)® f₀(x) на отрезке [a;b], f_n(x) непрерывны на

отрезке [ a; b], g(x) - ФОВ на отрезке [ a; b]. Тогда b b jim(S)J f_n(x)dg(x) = (S)J f(x)dg(x).

a a

Доказательство

Обозначим M_n = max I f_n (x) - f₀(x)|. По 8⁰

b

< M_n V( g). Поскольку

(S)J fn(x)dg(x) - (S)J ax)dg(x)

a

M_n ® 0, при n ® ¥, то имеем требуемое соотношение. Теорема доказана.

Теорема 6 (Э. Хелли, E. Helli)

Пусть f (x) непрерывна на отрезке [ a; b], g_n (x) ® g(x),

b

V( g_n) < V <+¥ "n e N.

a

bb Тогда n®m(S)J f(x)dg_n(x) = (S)J f(x)dg(x).

aa

Доказательство

b

Вначале покажем, что V(g) < V. Выполним (T)-разбиение

a

m-1

[ a; b] и рассмотрим g_n(Xk+i) - g_n(x_k^ < V. Переходя к

k =0

m-1

пределу при n ® ¥, имеем: g_n(x_k+1) - g_n(x_k) < V. Значит,

k=

0

g(x)-ФОВ на отрезке [ a; b]. Далее "e > 0. Выполним такое

e

(T) -разбиение [ a; b], что на каждом [x_k; x_k+₁] w_k ( f) < — ■ Рассмотрим

^b m-1 ^xk +1

(S) j f(x)dg(x) = Z(S) j f (x)dg(x) =

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 2

КОНСПЕКТЛЕКЦИЙ 2

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 3

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИИ 3

а\в 15

( А \ Д) п (А \ Аг ) = 0 ( д\ Аг ) п ( а \ Аз )=0 23

2o Если A = U A, 1Ф j ^ A П Af =0, A = c, то A = c 37

Возьмем набор точек 0 = x0 < x1 < x2 < ... < xx i < xn = 1. 37

склеивания A = u A = ^ [xk-1, xk) = [0,1) = c. 38

3o A = u A, 1 ф j ^ A п A,. = 0, A = c ^ A = c. 38

. («,А )с G^iej ^ U (a ,b ) = a с g. 77

х = щ, k = 1,2,...,n 101

(L) J [ f\dx = 0 ^ [ L ]J f (x)dx = 0. 201

^ [ l ] J a fi - EIf i] П0) dx< [ l ] J a fi - nf i] П0) dx. 215

= (L) J n2 dx = ( R)J n2dx = n ® +¥ fn (x) ® 0 . 245

[i] f t—(x)dx = limi (- - - 1 264

e

e ^xk+1 £ g).

3 V ^xk

^xt+1

(S) j (f(x) - f(xk))dg(x)

Складывая такие выражения, получаем, что первое

_e ^b _e

слагаемое в (*) по модулю не превышает — V(g) . Тогда

3 V ^a 3

^b m-1 _ge

a

k=0 b

^Анал^{огично (S)}j ^f(x)dgn⁽X) = Z ^f(xk⁾⁽gn^(xk+1^{) -} g⁽Xk⁾⁾ + ^gn^e,

a k=0 ³

где | g„ I £ 1.

m-1

m-1< —. Тогда

3

⁾

при n > n₀ имеем

требовалось. Теорема доказана.

что и

aИнтеграл Стилтьеса применяется в теории вероятности, механике и других науках. Наглядным представлением этого интеграла является площадь трапеции с нелинейным масштабом по горизонтальной оси.