§ 10.2. Определение интеграла Римана–Стилтьеса

87

Сумма в правой части полученного равенства является интегральной суммой Римана функции | ′( )|. Так как эти интегральные суммы неотрицательны, то верхняя грань таких сумм по всем разбиениям равна значению интеграла из (10.1.6).

Теорема доказана.

§ 10.2. Определение интеграла Римана–Стилтьеса

Наряду с несобственными интегралами, рассматривавшимися

вS 9.10, интеграл Римана–Стилтьеса является ещ¨ одним обобщением интеграла Римана.

Пусть на отрезке [ , ] заданы функции ( ) и ( ). Для произвольного разбиения отрезка [ , ]

= 0 < 1 < · · · < =

вкаждом отрезке [ −1, ] возьм¨ем некоторую точку и составим сумму

∑

( , ) := ( )[ ( ) − ( −1)].

=1

Эту сумму называют интегральной суммой Римана–Стилтьеса

(соответствующей разбиению и выбору точек ) функции по функции .

Определение. Пусть на отрезке [ , ] заданы функции ( )

и ( ). Функцию называют интегрируемой по функции на

[ , ] в смысле интеграла Римана–Стилтьеса, если существует такое число , что для любого > 0 имеется число ( ) > 0, при котором для каждого разбиения отрезка [ , ] диаметра < при произвольном выборе точек справедлива оценка

| − ( , )| < .

Число называют интегралом Римана–Стилтьеса функции

по функции на отрезке [ , ] и обозначают

грирующей.