§ 3. Интеграл Лебега

Как следует из теоремы Лебега, интеграл Римана может интегрировать «не очень разрывные» функции, почти всюду непрерывные. Необходима иная конструкция интеграла. Её и ввел Лебег.

Пусть на измеримом множестве X задана измеримая ограниченная функция f (x), причем A < f(x) < B. Сделаем

(T)- разбиение [ A; B]: A = /0 < y < ... < y_n = B.

Обозначим e_k = X(y_k < f(x) < y_k+1), к = 0,1,..., n-1.

Множества e_k измеримы, попарно не пересекаются,

n—1 n—1

U e_k = X, V me_k = mX. Выберем y* e [y_k; y_k+1). Составим

^k=⁰ k=0

n—1

интегральную сумму Лебега: S_L (T) = £ y*_kme_k. Обозначим

к=0

^1(T) = max Ay,^{, г}д^е Ay, = y,₊1 ^— y_k. ^Если 3₁1^г®₀ ^sl^(T) = I_u ^то число I_L называется интегралом Лебега от функции f(x) по множеству X. Запись: I_L = (L)J f(x)dx. Если X = [a; b], то

x

b

пишут I_L = (L)J f (x)dx. Условия существования интеграла

a

Лебега оказываются значительно менее ограниченными по сравнению с интегралом Римана.

Теорема 1

Каждая ограниченная измеримая на X функция, интегрируема по Лебегу на X. Доказательство

Введем в рассмотрение функцию g(y) = mX( f (x) < y). Покажем, что она монотонна на отрезке [ A; В]. Пусть

Уъ У2 ^{е [ A};^{В] и} y < У2.

Рассмотрим g(У2) - g(y!) = mX( f < y,) - mX( f < у) = = mX(y < f < y₂) > 0 ^ g(y₂) > g(у) и g(y) монотонна.

л-1 n—1

^{Рассмот}р^им 5i⁽T) = Z yk*^mek = z у*^mX(yk < ^f < yk+i⁾ =

k=0 k=0

n-1 n-1

= Z У*⁽g⁽yk+1^{) -} g⁽yk ⁾⁾ =Z У*^Dgk. ^{Это интег}р^ал^{ьная с}у^мма

k=0 k=0

Стилтьеса для функции j(x) = y, непрерывной на [ A; В] по функции g( y), неубывающей ^ ФОВ на [ A; В]. При

В

l(T) = max Dyk ® 0 последняя сумма стремится к (S) j ydg ( y).

^kA

Следовательно, при l(T) ® 0, S_L(T) имеет предел

В

(L) j f (x)dx и он равен (S)j ydy(y).

X A

Теорема доказана. Замечание

В определении интеграла Лебега есть некоторый произвол, связанный с выбором чисел A и В. На самом деле неоднозначности здесь не происходит.

Теорема 2

Если A < A < f (x) < Д < В, то значение интеграла Лебега не зависит от выбора A, В или Д, В .

Доказательство

Функция g(y) из теоремы 1 на [ A; Д] равна нулю. На [Д; B] она постоянна и равна mX. Тогда

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 2

КОНСПЕКТЛЕКЦИЙ 2

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 3

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИИ 3

а\в 15

( А \ Д) п (А \ Аг ) = 0 ( д\ Аг ) п ( а \ Аз )=0 23

2o Если A = U A, 1Ф j ^ A П Af =0, A = c, то A = c 37

Возьмем набор точек 0 = x0 < x1 < x2 < ... < xx i < xn = 1. 37

склеивания A = u A = ^ [xk-1, xk) = [0,1) = c. 38

3o A = u A, 1 ф j ^ A п A,. = 0, A = c ^ A = c. 38

. («,А )с G^iej ^ U (a ,b ) = a с g. 77

х = щ, k = 1,2,...,n 101

(L) J [ f\dx = 0 ^ [ L ]J f (x)dx = 0. 196

^ [ l ] J a fi - EIf i] П0) dx< [ l ] J a fi - nf i] П0) dx. 210

= (L) J n2 dx = ( R)J n2dx = n ® +¥ fn (x) ® 0 . 240

[i] f t—(x)dx = limi (- - - 1 259

. Если f < j почти всюду на Х, то (L) J fdx < (L) J jdx.

ХХ

Действительно, Л(x) = j(x) — f (x) > 0 почти всюду на Х. (L) Jjdx — (L) J fdx = J (j— f)dx > 0. Рассмотрим еще

Х Х Х

проблему предельного перехода под знаком интеграла Лебега.

Теорема 3 (А. Лебег)

Пусть функции f_n (x) ограничены и измеримы на множестве Х, f_n (x) ^ f₀(x), f₀(x) - ограничена и измерима на Х, функции последовательности равномерно ограничены на Х(| f_n (x) | < K"x е Х"п е N).

10

Тогда lim(L)J f_n(x)dx = (L)J f₀(x)dx.

Доказательство

Покажем, что | f₀( x)| < K почти всюду на X. Из ( f_n (x))_nEN

можно выделить подпоследовательность f (x) по теореме

Рисса, сходящуюся к f₀(x), почти всюду на X. Переходя к

пределу в | f (x) |< K при K ® ¥, получаем | f₀(x) | < K. Пусть

d> 0.

Обозначим:

An (d) = X (| fn - f₀\> d), Bn (d) = X (| fn - fel < d).

Тогда (L)J fndx - J f,dx < (L)J f_n - f, \dx = (L) J | f_n - f_(> \dx+

XX X A_n (d)

+1 f₀ |, то почти

+(L) J | fn - f0 | dx. Поскольку | fn - f0 |<| fn | +1 /0 |

Bn (d)

всюду на An (d) будет | fn - f> |< 2K. Тогда по 1⁰ (L) J \f_n - f₀ |dx < 2KmA_n(d).

An (d)

Аналогично J | f_n - f0 | dx < dmB_n (d) < dmX.

Bn (d)

Имеем: | (L)J f_ndx- (L)J f₀dx | < 2KmA_n(d) + dmX "e > 0

_e

найдем d > 0 : dmX < —. Тогда mA_n (d) ® 0 и при достаточно

_e

больших n, 2K • mA_n(d) < —.

Получаем: |(L)J f_ndx- (L)J f₀dx | < e, что и доказывает

XX

предельный переход. Теорема доказана.

Замечание 1

Теорема остается верной и в случае, когда неравенство | f_n (x) |< K выполняется почти всюду на X.

Замечание 2

Поскольку сходимость по мере шире, чем сходимость почти всюду, тем более простой поточечной, тем более равномерной, то и в этих случаях предельный переход под знаком интеграла Лебега является законным.