2.4 Свойства интеграла Стилтьеса
Из определения интеграла Стилтьеса непосредственно вытекают следующие его свойства:
При этом в случаях из существования интегралов в правой части вытекает существование интеграла в левой части.
Затем имеем
в предположении, что и существуют все три интеграла.
Для доказательства этой формулы достаточно лишь озаботиться включением точки в число точек деления промежутка при составлении суммы Стилтьеса для интеграла .
По поводу этой формулы сделаем ряд замечаний. Прежде всего, из существования интеграла следует уже существование обоих интегралов
и .
Для своеобразного предельного процесса, с помощью которого из стилтьесовской суммы получается интеграл Стилтьеса, имеет место принцип сходимости Больцано-Коши. Таким образом, по заданному ввиду существования интеграла найдется такое , что любые две суммы и Стилтьеса, которым отвечают и , разнятся меньше чем на . Если при этом в состав точек деления включить точку , а точки деления, приходящиеся на промежуток , брать в обоих случаях одними и теми же, то разность сведется к разности двух сумм Стилтьеса, относящихся уже к промежутку , ибо прочие слагаемые взаимно уничтожатся. Применяя к промежутку и вычисленным для него стилтьесовским суммам тот же принцип сходимости, заключим о существовании интеграла . Аналогично устанавливается и существование интеграла .
Особенно заслуживает быть отмеченным тот не имеющий прецедентов факт, что из существования обоих интегралов и , вообще говоря, не вытекает существование интеграла .
Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть пример. Пусть в промежутке функции и заданы следующими равенствами:
;
Легко видеть, что интегралы
оба существуют и равны 0, ибо соответствующие им суммы Стилтьеса все равны 0: для первого это следует из того, что всегда , для второго - из постоянства функции , благодаря чему всегда
В то же время интеграл
не существует. Действительно, разобьем промежуток на части так, чтобы точка 0 не попала в состав точек деления, и составим сумму
Если точка 0 попадет в промежуток , так что , то в сумме останется только одно -е слагаемое; остальные будут нули, потому что
для .
Итак,
В зависимости от того, будет ли или , окажется или , так что предела не имеет.
Указанное своеобразное обстоятельство связано с наличием разрывов в точке для обеих функций и .
- Введение
- Глава I. Развитие понятия интеграла
- 1.1 Проблема моментов
- Глава II. Интеграл Стилтьеса
- 2.1 Определение интеграла Стилтьеса
- 2.2 Общие условия существования интеграла Стилтьеса
- 2.3 Классы случаев существования интеграла Стилтьеса
- 2.4 Свойства интеграла Стилтьеса
- 2.5 Интегрирование по частям
- 2.6 Приведение интеграла Стилтьеса к интегралу Римана
- 2.7 Вычисление интегралов Стилтьеса
- 2.8 Примеры
- 2.10 Теорема о среднем, оценки
- 2.11 Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса
- 2.12. Примеры и дополнения
- Глава III. Применение интеграла Стилтьеса
- 3.1 Применение в теории вероятностей
- 3.2 Применение в квантовой механике
- 2.4 Свойства интеграла Стилтьеса
- § 10.2. Определение интеграла Римана–Стилтьеса
- § 3. Интеграл Лебега
- § 2. Интеграл Стилтьеса
- 2. Интеграл Лебега-Стилтьеса. Связь с интегралом Римана-Стилтьеса
- 2.2 Общие условия существования интеграла Стилтьеса
- 2.1 Определение интеграла Стилтьеса
- 2.6 Приведение интеграла Стилтьеса к интегралу Римана
- Мера, интеграл Лебега