2.1 Определение интеграла Стилтьеса
Пусть в промежутке заданы две ограниченные функции и . Разложим точками
(1)
промежуток на части и положим . Выбрав в каждой из частей по точке, вычислим значение функции и умножим его на соответствующее промежутку приращение функции
.
Наконец, составим сумму всех таких произведений:
. (2)
Эта сумма носит название интегральной суммы Стилтьеса.
Конечный предел суммы Стилтьеса при стремлении к нулю называется интегралом Стилтьеса функции по функции и обозначается символом
. (3)
Иной раз, желая особенно отчетливо подчеркнуть, что интеграл рассматривается в смысле Стилтьеса, употребляют обозначение
Предел здесь понимается в том же смысле, что и в случае обыкновенного определенного интеграла. Точнее говоря, число называется интегралом Стилтьеса, если для любого числа существует такое число , что лишь только промежуток раздроблен на части так, что , тотчас же выполняется неравенство
,
как бы не выбирать точки в соответствующих промежутках.
При существовании интеграла (3) говорят также, что функция в промежутке интегрируема по функции .
Читатель видит, что единственное (но существенное) отличие данного выше определения от обычного определения интеграла Римана состоит в том, что умножается не на приращение независимой переменной, а на приращение второй функции. Таким образом, интеграл Римана есть частный случай интеграла Стилтьеса, а когда в качестве функции взята сама независимая переменная :
.
- Введение
- Глава I. Развитие понятия интеграла
- 1.1 Проблема моментов
- Глава II. Интеграл Стилтьеса
- 2.1 Определение интеграла Стилтьеса
- 2.2 Общие условия существования интеграла Стилтьеса
- 2.3 Классы случаев существования интеграла Стилтьеса
- 2.4 Свойства интеграла Стилтьеса
- 2.5 Интегрирование по частям
- 2.6 Приведение интеграла Стилтьеса к интегралу Римана
- 2.7 Вычисление интегралов Стилтьеса
- 2.8 Примеры
- 2.10 Теорема о среднем, оценки
- 2.11 Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса
- 2.12. Примеры и дополнения
- Глава III. Применение интеграла Стилтьеса
- 3.1 Применение в теории вероятностей
- 3.2 Применение в квантовой механике
- 2.4 Свойства интеграла Стилтьеса
- § 10.2. Определение интеграла Римана–Стилтьеса
- § 3. Интеграл Лебега
- § 2. Интеграл Стилтьеса
- 2. Интеграл Лебега-Стилтьеса. Связь с интегралом Римана-Стилтьеса
- 2.2 Общие условия существования интеграла Стилтьеса
- 2.1 Определение интеграла Стилтьеса
- 2.6 Приведение интеграла Стилтьеса к интегралу Римана
- Мера, интеграл Лебега