2.3 Классы случаев существования интеграла Стилтьеса
I. Если функция непрерывна, а функция имеет ограниченное изменение, то интеграл Стилтьеса
(5)
существует.
Сначала предположим, что монотонно возрастает: тогда примени критерий предыдущего пункта. По произвольно заданному ввиду равномерной непрерывности функции найдется такое , что в любом промежутке с длиной, меньшей , колебание будет меньше . Пусть теперь промежуток произвольно разбит на части так, что . Тогда все
и
,
откуда и следует выполнение условия (4), а стало быть и существование интеграла.
В общем случае, если функция имеет ограниченное изменение, она представима в виде разности двух ограниченных возрастающих функций: . В соответствии с этим преобразуется и сумма Стилтьеса, отвечающая функции :
.
Так как по уже доказанному каждая из сумм и при стремится к конечному пределу, то это справедливо и относительно суммы , что и требовалось доказать.
Можно ослабить условия, налагаемые на функцию , если одновременно усилить требования к функции :
Если функция интегрируема в в смысле Римана, а удовлетворяет условию Липшица:
(6)
то интеграл (5) существует.
Для того чтобы опять иметь возможность применить установленный выше критерий, предположим сначала функцию не только удовлетворяющей условию (6), но и монотонно возрастающей.
Ввиду (6), очевидно, , так что
.
Но последняя сумма при и сама стремится к 0 вследствие интегрируемости (в смысле Римана) функции , а тогда стремится к нулю и первая сумма, что доказывает существование интеграла (5).
В общем случае функции , удовлетворяющей условию Липшица (6), представим в виде разности
Функция , очевидно, удовлетворяет условию Липшица и в то же время монотонно возрастает. То же справедливо и для функции , так как, в силу (6), при
и
В таком случае рассуждение завершается, как и выше.
III. Если функция интегрируема в смысле Римана, а функция представима в виде интеграла с переменным верхним пределом:
(7)
где абсолютно интегрируема, в промежутке , то интеграл (5) существует.
Пусть , так что монотонно возрастает. Если интегрируема в собственном смысле и, следовательно, ограничена: то для
Имеем
Таким образом, в этом случае удовлетворяет условию Липшица, и интеграл существует в силу 2.
Предположим теперь, что интегрируема в несобственном смысле. Ограничимся случаем одной особой точки, скажем . Прежде всего, по произвольно взятому выберем так, чтобы было
(8)
где - общее колебание функции в рассматриваемом промежутке.
Разобьем промежуток по произволу на части и составим сумму
Она разлагается на две суммы , из коих первая отвечает промежуткам, целиком содержащимся в промежутке , а вторая - остальным промежуткам. Последние наверное содержаться в промежутке , если только ; тогда, в силу (8),
С другой стороны, так как в промежутке функция интегрируема в собственном смысле, то по доказанному при достаточно малом и сумма станет меньше . Отсюда следует (4), что и требовалось доказать.
В общем случае, когда функция абсолютно интегрируема в промежутке , мы рассмотрим функции
очевидно, неотрицательные и интегрируемые в названном промежутке. Так как
то вопрос сводится, как и выше, к уже рассмотренному случаю.
Замечание. Пусть функция непрерывна в промежутке и имеет, исключая разве лишь конечное число точек, производную , причем эта производная интегрируема (в собственном или несобственном смысле) от до ; тогда, как известно, имеет место формула типа (7):
.
Если абсолютно интегрируема, то к функции полностью приложимо изложенное в 3.
- Введение
- Глава I. Развитие понятия интеграла
- 1.1 Проблема моментов
- Глава II. Интеграл Стилтьеса
- 2.1 Определение интеграла Стилтьеса
- 2.2 Общие условия существования интеграла Стилтьеса
- 2.3 Классы случаев существования интеграла Стилтьеса
- 2.4 Свойства интеграла Стилтьеса
- 2.5 Интегрирование по частям
- 2.6 Приведение интеграла Стилтьеса к интегралу Римана
- 2.7 Вычисление интегралов Стилтьеса
- 2.8 Примеры
- 2.10 Теорема о среднем, оценки
- 2.11 Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса
- 2.12. Примеры и дополнения
- Глава III. Применение интеграла Стилтьеса
- 3.1 Применение в теории вероятностей
- 3.2 Применение в квантовой механике
- 2.4 Свойства интеграла Стилтьеса
- § 10.2. Определение интеграла Римана–Стилтьеса
- § 3. Интеграл Лебега
- § 2. Интеграл Стилтьеса
- 2. Интеграл Лебега-Стилтьеса. Связь с интегралом Римана-Стилтьеса
- 2.2 Общие условия существования интеграла Стилтьеса
- 2.1 Определение интеграла Стилтьеса
- 2.6 Приведение интеграла Стилтьеса к интегралу Римана
- Мера, интеграл Лебега