1.1 Предварительные определения и обозначения

Пусть А = (a_ij) - квадратная матрица порядка n, где a_ij - комплексные числа. Определим норму А следующим образом:

. (1.1)

Если n-мерный вектор х представлять как матрицу с n строками и одним столбцом, то норма вектора совпадает с нормой x, определенной по формуле (1). Легко видеть, что норма обладает следующими свойствами:

(I) |A+B| |A|+|B|,

(II) |AB| |A|*|B|,

(III) |Ax| |A|*|x|,

где А и В - матрицы, х - n-мерный вектор.

По определению, расстояние между двумя матрицами А и В равно |A-B|, и это расстояние удовлетворяет обычным свойствам метрики.

Нулевая матрица будет обозначаться через О, единичная - через Е. В случае опасности смешения размерностей эти квадратные матрицы порядка n будут обозначаться соответственно через О_n и Е_n.

Заметим, что | О_n | = 0 и | Е_n | = n, а не 1.

Комплексно сопряженной матрицей для А = (a_ij) называется матрица , где - комплексно сопряженные числа для a_ij. Транспонированная матрица обозначается через и определяется так: . Сопряженная матрица для А определяется так: . Заметим, что |A*|=||=||=|A|. Далее, (АВ)*=В*А*. Определитель матрицы А обозначается как det А.

Если det А = 0, то матрица А называется особой. Не особая матрица имеет обратную матрицу А^-1, которая удовлетворяет соотношениям

А А-1 = А-1А = Е.

Многочлен det (лЕ-А) степени n от л называется характеристическим многочленом для матрицы А, а его корни - характеристическими корнями А. Если эти корни обозначены л_i (i = 1, …, n), то

det (лЕ-А) =

Две квадратные матрицы А и В порядка n называются подобными, если существует Неособая квадратная матрица Р порядка n, такая что

В = РАР-1.

Если А и В подобны, то они имеют один и тот же характеристический многочлен, ибо

det (лЕ-В) = det (Р(лЕ-А)Р^-1)= det Р* det (лЕ-А)* det Р^-1= det (лЕ-А).

В частности, коэффициенты многочлена det (лЕ-А) при степенях л инвариантны относительно преобразования подобия. Два наиболее важных инварианта - det А и sp A - определитель и след А соответственно.

Приведем следующий фундаментальный результат о канонической форме матрицы.

Теорема 1.1 Каждая квадратная матрица А порядка n и подобная матрица вида

где J₀ - диагональная матрица с элементами л₁, л₂,…, л_q и

(i = 1, …, s).

Здесь л_j , j = 1, …, q+s, - характеристические корни А, не обязательно различные. Если л_j - простой корень, то он встречается в J₀ и поэтому, если все корни различны, А подобна диагональной матрице

Из теоремы 1.1 непосредственно следует, что

det А = , sp A =

где произведение и сумма распространены на все корни, причем каждый корень считается столько раз, каков а его кратность. Матрицы J_i имеют вид

J_i = л_q+iЕ_ri+Z_i ,

где J_i - квадратная матрица порядка r_i и

Матрицы J_i можно представить также в виде л_q+iЕ_ri+гZ_i, где г - любая постоянная, отличная от нуля.

Последовательность матриц {А_m} имеет своим пределом А, если для любого е > 0 существует такое целое число N, что при p, q > N

|A_q - A_p| <е.

Очевидно, что последовательность {А_m} сходится в том и только в том случае, когда сходится каждая из последовательностей компонент, а отсюда следует, что {А_m} сходится в том и только в том случае, когда существует предельная матрица, к которой и сходится эта последовательность.

Бесконечный ряд

называется сходящимся, если сходится последовательность частных сумм, а суммой ряда называется предельная матрица для частных сумм. Важное значение при изучении линейных уравнений имеет специальный ряд, который называется экспонентной матрицей А, а именно:

(1.2)

где А_m есть m-я степень А. Ряд, определяющий е^А, сходится для всех А, июо для любых положительных целых p и q

а последнее выражение есть разность Коши для ряда е^А, сходящегося для всех конечных |A|. Далее,

|е^А|(n-1) + е^|А|. (1.3)

Для матриц, вообще говоря, равенство е^А+В = е^А е^В неверно. Это равенство верно, если А и В коммутируют. Далее будет показано, что

det е^А = е^spА, (1.4)

и поэтому е^А есть неособая матрица для всех А. Так как -А коммутирует с А, то е^-А = (е^А)^-1.

Каждая матрица А удовлетворяет своему характеристическому уравнению det (лЕ-А) = 0, и это замечание часто бывает полезно для эффективного вычисления е^А.

Пусть В - неособая матрица. Покажем, что существует матрица А (называемая логарифмом В), такая, что е^А = В. В самом деле, если в имеет каноническую форму J теоремы 1, то А, очевидно, можно представить в виде

при условии, что е^Аi = J_j, j = 0, 1, …, s. Легко также проверить, что А₀ можно представить в виде

Далее,

где Z_j - нильпотентная матрица, определенная в теореме 1.1. так как высшие степени Z_j равны нулю, то ряд

содержит лишь конечное число членов и поэтому сходится. Положим, по определению, сумму этого ряда, который на самом деле является многочленом от, равной

Таким образом,

есть многочлен от . С другой стороны. Из тождества

(|x| < 1)

следует после приведения справа подобных членов, коэффициенты при х^k, k2, равны нулю, а коэффициент при х равен единице. Отсюда следует тот же результат для F, и поэтому

Отсюда легко получаем, что А_j можно представить в виде

Пользуясь тем, что для каждой матрицы М

(PMP^-1)^k = PM ^k P^-1 (k = 1, 2, …),

нетрудно видеть, что

Отсюда следует, что результат, полученный для канонической матрицы В, переносится на произвольную неособую матрицу В. В самом деле, если J = e^A и B = PJP^-1, то В = , где = PАP^-1. естественно, что матрица А не единственна.

Если Ф - произвольная квадратная матрица порядка n из функций, определенная на действительном i-интревале I (элементы матрицы могут быть действительными или комплексными функциями), то Ф называется непрерывной, дифференцируемой ли аналитической на I, если все элементы Ф соответственно непрерывны, дифференцируемы или аналитичны на I. Если Ф на I дифференцируема, то через обозначается произвольная матрица. Заметим, что если матрицы Ф, Ш дифференцируемы, то

(1.5)

и, вообще говоря, .

Если в точке t производная матрица (t) существует и матрица Ф - неособая, то матрица Ф^-1 в точке t дифференцируема. Это следует из равенства

где , а - алгебраические дополнения элементов . Из равенств (1.5) и Ф Ф^-1=Е следует, что

(1.6)

Если матрица А на t-интервале I непрерывна и Ф удовлетворяет уравнению (t) = А(t)Ф(t), то

(1.7)

а в интегральной форме

(1.8)