1.4 Линейные системы с постоянными коэффициентами

Пусть А - постоянная квадратная матрица порядка n и рассмотрим соответствующую однородную систему

. (4.1)

Если n = 1, то (4.1) имеет очевидное решение е^tА_, и решение, которое при t = ф равно о , имеет вид е^(t-ф)Ао . Оказывается, что решение имеет эту форму и в том случае, когда х, о являются векторами произвольной конечной размерности и А - квадратная матрица порядка n.

Теорема 4.1. Фундаментальная матрица Ф системы (4.1) дается формулой

Ф(t) = е^tА (|t| < ), (4.2)

и решение ц системы (4.1), удовлетворяющее условию

ц(ф) = о (|ф | < , | о | < ),

имеет вид

ц(t) = е^(t-ф)Ао (|t| < ). (4.3)

Доказательство. Так как е^(t-Дt)А = е^tА е^ДtА, то из определения производной легко получаем, что

Поэтому Ф(t) = е^tА есть решение системы (4.1). Так как Ф(0) = Е, то из (1.8) следует, что det Ф(t) = е^tspА . Итак, Ф - фундаментальная матрица. Теперь формула (4.3) очевидна.

Замечание. Заметим, что выражение не обязано быть решением системы , если матрицы А(t) и не коммутируют. Они коммутируют, когда матрица А(t) либо постоянная, либо диагональная.

Интересно исследовать структуру фундаментальной матрицы (4.2). пусть J - каноническая форма матрицы А, указанная в теореме 1.1, и предположим, что Р - неособая постоянная матрица, такая, что АР = PJ.

Тогда

(4.4)

и J имеет вид

(4.5)

где J₀ - диагональная матрица с элементами л₁, л₂,…, л_q и

(i = 1, …, s). (4.6)

Далее,

(4.7)

и легкое вычисление показывает, что

(4.8)

Так как , то . Таким образом,

(4.9)

где - квадратная матрица порядка r_i (n = q + r₁ + … + r_s). Поэтому, если известна каноническая форма (4.5), (4.6) матрицы А, то фундаментальная матрица е^tА системы (4.1) дается в явном виде формулой (4.4), в которой е^tJ может быть вычислена из (4.7), (4.8), (4.9).

Другая фундаментальная матрица системы (4.1) такова:

Ш(t) = е^tАP = P е^tJ. (4.10)

Пусть матрица Р имеет своими столбцами векторы р₁, …, р_n. Столбцы матрицы Ш. Которые мы обозначаем через ш₁ , ш ₂ , …, ш _n , образуют совокупность n линейно независимых решений системы (4.1) и из (4.10) и вида матрицы J получаем

, , …, ,

,

,

,

,

.

Так как АР = PJ, то векторы р₁, …, р_n удовлетворяют соотношениям

Ар₁ = л₁р₁,…, Ар_q = л_qр_q,

Ар_q+1 = л _q+1р_q+1,

Ар_q+2 = р_q+1 + л _q+1р_q+2,

Ар_n-rs+1 = л _q+sр _n-rs+1,

Ар_n-rs+2 = р _n-rs+1+л _q+sр _n-rs+2,

Ар_n = р _n-1+л _q+sр _n.

Решения ш_j выражаются посредством независимых векторов р₁, …, р_n из предыдущей последовательности уравнений.

Формула вариации постоянных (3.1) в применении к неоднородной системе

+b(t) , (4.11)

где А - постоянная матрица, дает для решения ц системы (4.11), удовлетворяющего условию ц(ф) = 0, , выражение

.

Решение ц системы (4.11), удовлетворяющее условию ц(ф) = о , где , | о |< , имеет вид

.