1.5 Линейные системы с периодическими коэффициентами

Рассмотрим линейную однородную систему

, (5.1)

где А - матрица элементами которой служат непрерывные комплексные функции, и

(5.2)

для некоторой постоянной щ 0. В этом случае (5.1) называется периодической системой с щ-периодом А. Основной результат для таких систем состоит в том, что фундаментальную матрицу можно представить как произведение периодической матрицы с тем же периодом щ и матрицы-решения для системы с периодическими коэффициентами.

Теорема 5.1. Если Ф - фундаментальная матрица для системы (5.1), то тем же свойством обладает матрица

Ш(t) = Ф(t+щ) .

Каждой такой матрице Ф соответствует периодическая неособая матрица Р с периодом щ и постоянная матрица R, такие, что

Ф(t) = P(t)e^tR. (5.3)

Доказательство. Так как

,

то в силу (5.2)

.

Поэтому Ш есть матрица-решение системы (5.1), и эта матрица фундаментальная, так как det Ш(t) = det Ф(t+щ) 0 для .

Следовательно, существует постоянная матрица С, такая что

Ф(t+щ) = Ф(t)С, (5.4)

и, сверх этого, существует постоянная матрица R, такая что

С = е^щR. (5.5)

Из (5.4) и (5.5) получаем

Ф(t+щ) = Ф(t) е^щR. (5.6)

Определим матрицу Р по формуле

Р(t) = Ф(t) е^-tR. (5.7)

Тогда, используя (5.6), получаем

Р(t+щ) = Ф(t+щ) е^-(t+щ)R = Ф(t) е^щR е^-(t+щ)R = Ф(t) е^-tR = Р(t).

Так как матрицы Ф(t) и е^-tR для неособые, то Р(t) такая же, и это завершает доказательство.

Значение теоремы 5.1 состоит в том, что значение фундаментальной матрицы Ф на интервале длины щ, например , дает возможность определить Ф на всей числовой прямой. В самом деле, матрица С в (5.5) определяется как формула Ф^-1(0)Ф(щ), а отсюда R определяется как (lnC)/щ. Теперь матрица Р(t) определена на интервале (0,щ) по формуле (5.7), а так как Р(t) имеет период щ, то она определяется на интервале . Теперь матрица Ф определена на интервале по формуле (5.3).

Если Ф₁ - некоторая другая фундаментальная матрица системы (5.1), для которой выполняется (5.2), то

Ф = Ф₁Т,

где Т - некоторая постоянная неособая матрица. Из (5.6) следует, что

Ф₁(t+щ)Т = Ф₁(t)Те^щR,

или

Ф₁(t+щ) = Ф₁(t)(Те^щRТ^-1). (5.8)

Таким образом, в силу (5.8) каждая фундаментальна матрица Ф₁ определяет матрицу Те^щRТ^-1, подобную е^щR . Наоборот, если Т - любая постоянная неособая матрица, то существует фундаментальная матрица Ф₁ системы (5.1), такая, что выполняется (5.8). Следовательно, хотя Ф не определяет R однозначно, множество всех фундаментальных матриц системы (5.1), а следовательно матрица А, определяет однозначно все связанные с R величины, инвариантные относительно подобных преобразований. В частности, множество всех фундаментальных матриц системы (5.1) определяет однозначно множество характеристических корней, а именно характеристические корни матрицы С = е^щR. Обозначим эти корни через л₁, л₂,…, л_n и назовем их мультипликаторами, соответствующими матрице А. Ни один из мультипликаторов не равен нулю, ибо = det е^щR 0. Характеристические корни матрицы R называются характеристическим показателями.

Интересно выяснить явный вид множества n линейно независимых векторов-решений системы (5.1). Пусть Т - постоянная неособая матрица, такая что матрица Т^-1RТ = J имеет каноническую форму, указанную в теореме 1.1, и положим Ф₁ = ФТ, Р₁ = РТ. Тогда из (5.3) следует

Ф₁(t) = Р₁(t) е^tJ , Р₁(t+щ) = Р₁(t). (5.9)

Поэтому, если с_i - характеристические корни R, то матрица е^tJ имеет вид

где

и

(i = 1, …, s; q+= n).

Очевидно, что л_i = е^щсi , и поэтому, хотя сами корни с_i определяются неоднозначно, но их действительные части определяются однозначно. Из (5.9) следует, что столбцы ц₁ , ц₂ , …, ц_n матрицы Ф₁, которые образуют множество n линейно независимых решений системы (5.1), имеют вид:

,

,

,

,

, (5.10)

,

,

.

В этих формулах р₁ , р₂ , …, р_n - периодические векторы-столбцы матрицы Р₁.

Из (5.10) очевидно, что если Reс_i < 0 или, что эквивалентно, | л_i | < 1, то при решения ц_i(t) экспоненциально убывают.

Из (5.6) следует, что Ф(щ) = Ф(0)е^щR, и поэтому л_i можно рассматривать как характеристические корни матрицы Ф^-1(0)Ф(щ). В частности, если Ф(0) = Е, то е^щR = Ф(щ) и л_i являются характеристическими корнями матрицы Ф(щ). Так как

(5.11)

то n-й корень можно определить из (5.11), если известны n-1 корней л_i.

Действительная неособая матрица С не обязана иметь действительный логарифм, т.е. не всегда существует действительная матрица В, такая что е^В = С. В самом деле, матрица с одной строкой и одним столбцом С = -1 доставляет соответствующий пример. Однако справедливо утверждение, что для действительной матрицы С существует действительная матрица В, такая, что С² = е^В .

Используя это при доказательстве теоремы 5.1, нетрудно получить следующий результат6 если в системе (5.1) матрица А (t) действительная периодическая с периодом щ, то каждой действительной фундаментальной матрице Ф соответствует действительная матрица Р периода 2щ и действительная постоянная матрица R, такие, что

Ф(t) = Р(t)е^tR.