1.10 Теоретико-числовые задачи

Задачи, относящиеся к теории чисел: требуется найти число, которое при делении на 3, 5, 7 дает соответственно остатки 2, 3 и 2.Задачи такого типа возникли в теории календаря. Древнекитайский метод решения этих задач был вновь разработан Эйлером и Гауссом, которые не знали, что этой задачей занимались в Китае за полторы тысячи лет до них.

Другой популярной задачей была ?задача о птицах?, также восходящая к V веку: сколько можно купить на 100 монет петухов, кур и цыплят - всего 100 птиц, если петух стоит 5 монет, курица-4 монеты, а 4 цыпленка -1 монету?

Ответ: 15 петухов, курица. 84 цыпленка.

Пусть X-петухов, Y-куриц, Z-цыплят. Составляем систему уравнений:

вычтем из второго уравнение первое, получим:

;

Аналогичные задачи встречаются также у индийского, египетского математика, самаркандского математика Ал-Каши (XV в.).

Математики Китая занимались также составлением так называемых магических квадратов, т.е. таким распределением последовательных натуральных чисел в квадратной таблице, при котором суммы чисел в каждом из столбцов и строк одинаковы, и, значит, равны

.

Китайские математики решили задачу о существовании целочисленных решений неопределенного уравнения:

.

Найденный ими закон составления троек ?пифагоровых? чисел

позволял выделить множество прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами.

В V? книге ?Математики в девяти книгах? имеется одна задача на арифметическую прогрессию: требуется найти члены прогрессии, состоящей из девяти членов, по сумме четырех первых и трех последних членов. Вопросами суммирования рядов занимались и позднейшие китайские математики. Так математик Шэнь-Ко (X? в.) подсчитал число предметов, образующих n-слойную ступенчатую усеченную пирамиду, в которой стороны прямоугольных слоев последовательно увеличиваются на единицу. Если в наименьшем слое ab предметов, то в -ом слое предметов и искомое число выражается суммой:

.

Предпосылки он не сообщает.