2.3 Алгебраическая символика

В Индии, как и в Вавилоне и Китае высокого расцвета достигли и алгебраические вычисления. Выдающимся достижением индийских математиков было создание развитой алгебраической символики. Эта символика была богаче, чем у Диофанта. Впервые появились особые знаки для многих неизвестных величин свободного члена уравнения, степеней. Сложение обозначалось знаком «йу» («йта» - сложенный), умножение - «гу» («гунита» - умноженный), деление - «бха» («бхага» - деленный).

Свободный член в уравнениях сопровождался первым слогом слова «рупа» (целый). Иногда неизвестная обозначалась знаком нуля, так как первоначально в таблицах, например пропорциональных величин, для нее оставлялась пустая клетка.

Вычитание обозначалось точкой над вычитаемым или знаком +справа от него (например, вычитание 5 обозначалось или 5 +). Знаки сложения и умножения опускались.

Обозначения степеней представляли собой сочетания слогов «ва» («варга» - квадрат), «гха» («гхана» - куб) и слова «гхата» - произведение, т.е. степени и неизвестные обозначались:

х2 - ва,

х3 - гха,

х4 = ва ва,

х5 = ва гха гхата,

х6 = ва гха,

х7 = ва ва гха гхата,

х8 = ва ва ва,

х9 = гха гха.

Таким образом, для степеней показатели, которых имеют вид 2?, 3?, обозначения состоят из слога «ва», повторенного ? раз, и слога «гха», повторенного ? раз. Т.е. степени этого вида образуются по мультипликативному принципу. Обозначения степеней, показатель которых не представляется в таком виде, образуются по аддитивному принципу, причем слово «гхата» (произведение) означает, что степень такого типа представляет собой произведение степеней, суммой показателей которых является показатель этой степени.

Например: х5 = х2+3 = х2 · х3

Латинские переводчики в XII веке перевели арабское название корня латинским словом radix, откуда и происходят наши термины «корень» и «радикал».

Извлечение квадратного корня в Индии, как и в Китае, основано на разложении квадрата двучлена, но при этом (как и при извлечении кубического корня) не применялся метод Горнера.

Квадратный корень обозначался слогом «му» - от слова «мула».

Распространенный термин для неизвестной величины - это «йават - тават» (столько - сколько, «так много, как»). Cокращенно - «йа».

Знака равенства не было: обе части уравнения писали в виде строки так, чтобы одинаковые степени стояли друг под другом. Если неизвестная отсутствовала, то записывали ее знак с коэффициентом нуль.

Уравнение 10х - 8 = х2 + 1 записывали так:

йа ва 0 йа 10 ру

йа ва 1 йа 0 ру 1.

Уравнение: 8х3 + 4х2 + 10y2х = 4х3 + 12y2х записывали так:

йа гха 8 йа ва 4 ка ва йа 10

йа гха 4 йа ва 0 ка ва йа 12

Символы применялись и в учении о прогрессиях.

Индийские ученые сделали большой шаг в создании символической алгебры, хотя их обозначения были громоздки, а сами знаки имели сложное начертание.