1.6 Системы линейных уравнений со многими неизвестными

математика тригонометрия дробь уравнение

Метод фан-чэн, излагаемый в V??? книге, явился вершиной достижений китайских математиков в решении линейных задач. Алгоритм решения системы линейных уравнений с неизвестными, совпадает по существу с методом Гаусса.

Все операции здесь производятся на счетной доске. Говоря на современном языке, можно сказать, что применяется матрица, столбцы которой представляют уравнения, а строки-коэффициенты при неизвестных и свободные члены. Слово ?фан-чэн? буквально означает выстраивание чисел по клеткам.

Пример из ?Математического трактата Сунь-цзы?.

В 28-ой задаче ?X книги трактата говорится, что два человека и получили неизвестное количество монет. Их надо определить из условия: если добавит половину монет или добавит монет , то в обоих случаях получится .

Для решения системы в правиле рекомендуется: ?Установи в правой строке 2 для А, 1 для В и 96 монет; установи в левой строке 2 для А, 3 для В и 144 монеты.

Таблица имеет вид:. (*)

В этом случае данную систему приводят к каноническому виду: освобождаются от дробных коэффициентов, а других случаях, приводят подобные члены, переставляют неизвестные по порядку, переносят из одной части уравнения в другую и т.п.

Таблицу (*) можно записать как:. Умножим второй справа столбец (*) на , получим . Вычитая элементы первого столбца из элементов второго столбца два раза, получим таблицу: , . Но можно было бы этого не

делать, т.е. вычесть из первого левого столбца второй:

.

Метод ?фан-чэн? близок к методу определителей, идею которого в Европе впервые высказал Лейбниц и которую развил Крамер (1750).

Пример из ?Математики в девяти книгах? ( между ??? в. до н.э. и ? в. н.э.).

«Из 3 снопов хорошего урожая, 2 снопов среднего урожая и 1 снопа плохого урожая получили 39 доу (мера объема зерна). Из 2 снопов хорошего урожая, 3снопов среднего урожая и 1 снопа плохого урожая получили 34 доу (зерна). Из 1 снопа хорошего урожая , 2 снопов среднего урожая и 3 снопов плохого урожая получили 26 доу (зерна). Спрашивается, сколько (зерна) получили из каждого снопа хорошего, среднего и плохого урожая.

Решение

Если обозначить количество зерна в снопах хорошего, среднего и плохого урожая соответственно то задача выражается системой:

Правило ?фан-чэн?.

Расположи 3 снопа хорошего урожая, 2 снопа среднего урожая, 1 сноп плохого урожая, составляющие (их) 39 доу (зерна) с правой стороны. Расположи посредине и слева количество снопов урожаев в таком же порядке, как и с правой стороны. Получим таблицу: , здесь же приведем современное расположение коэффициентов уравнения .

Числа среднего столбца умножь на количество снопов хорошего урожая в правом столбце и образуй остатки. И еще раз так же образуй остатки до тех пор, пока не исчерпается все до среднего урожая в среднем столбце. И снова образуем, остатки до тех пор, пока не исчерпается все до количества снопов среднего урожая в среднем столбце. И снова образуй остатки до тех пор, пока не исчерпается все до количества снопов плохого урожая в левом столбце.

Следует отметить, что знака для изображения нуля не было, и на счетной доске ему соответствовало пустое место в соответствующей клетке.

Верхнее (число) есть делитель, нижнее делимое, делимое для (искомого количества) снопов плохого урожая. Итак, .

Чтобы найти делимое для среднего урожая, нижнее составляющее среднего столбца умножь на делитель и вычти делимое из плохого урожая. Остаток объедини (термин ? объединить и ? в этом случае означает, что после того, как на счетной доске получены числа и , из них следует составить одно (объединить) число с количеством снопов среднего урожая, это и будет делимое для среднего урожая. Делитель для (?делитель ? постоянный для всех , это - 36). Это число . Чтобы найти делимое для хорошего урожая, нижнее составляющее (количество) правого столбца также умножь на делитель, исключи делимые для плохого урожая и удвоенного среднего урожая, объедини остаток с количеством снопов хорошего урожая, это и будет делимое для хорошего урожая. Делимое для есть . Все делимые объедини с делителем, получатся искомые (количества) в доу.

. Также находят.

Ответ: из 1 снопа хорошего урожая доу,

Из 1 снопа среднего урожая доу,

Из 1 снопа плохого урожая доу.

Или ,

Задача.

2снопам хорошего урожая, 3 снопам среднего урожая и 4 снопам плохого урожая не хватает до 1 доу соответственно по 1 снопу среднего урожая, плохого урожая, хорошего урожая. Спрашивается, сколько (зерна) получили из каждого снопа: хорошего, среднего и плохого урожая.

Решение.

Получаем систему: .

Правило: составь таблицу ?фан-чэн?, установи для каждого, то чего не хватает. По способу ?чжэн- фу? вычисляй:

, .

Преобразование таблицы, состоящее в вычитании элементов третьего столбца из удвоенного первого, приводит к необходимости вычесть из ?ничего? единицу:

.

(или ), (или ).

Ответ: из 1 снопа хорошего урожая получили доу,

Из 1 снопа среднего урожая получили доу,

Из 1 снопа плохого урожая получили доу.

Поэтому, в решении этой задачи формулируются правила сложения и вычитания отрицательных чисел - правила ?чжэн-фу?.