2.2 Арифметика натуральных чисел и дробей

Индийцы первые разработали правила арифметических действий, основанные на этой нумерации.

К основным арифметическим действиям индийцы относили: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в квадрат и куб, извлечение квадратного и кубического корней.

Вычисления индийцы производили на счетной доске покрытой песком или пылью, а то и прямо на земле. Числа записывались заостренной палочкой.

Для умножения существовало около десятка способов.

1 способ. В процессе умножения цифры множимого постепенно стирались, а на их месте записывались цифры произведения. Например, чтобы умножить 135 на 12 сначала писали

Перемножая 5 · 12 и стирая 5, получали и, сдвигая множитель, получили . Перемножая 3 · 2 и добавляя 6 к 6, стирали 6 и записывали на ее месте 2, а единицу держали в уме или записывали в стороне. Эту единицу прибавляли к произведению 3 · 1 и сумму 4 писали внизу вместо стертой тройки .

Далее перемножаются 1 · 2 и прибавляли 2 к 4 внизу, т.е. стирали 4 и на ее месте писали 6. И, наконец, 1 · 1 = 1, поэтому 1 внизу не стирали. В заключение стирали множитель, и на доске оставалось произведение 1620.

2 способ. Расчерчивается счетная доска на сетку прямоугольников. Каждый из которых разделен пополам диагональю, по сторонам сетки записывали множители, а промежуточные произведения писали в треугольниках и складывали их по диагоналям.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Пример. 12 · 135 2451 · 147 = 360297

3 способ. Метод Татстха. После помещения множителя под множимым умножь единицы на единицы и помести результат внизу. Затем, умножь единицы на десятки, а десятки на единицы, сложи вместе и расположи результат внизу в линию. Затем умножь единицы на сотни, сотни на единицы, десятки на десятки, сложи вместе и помести результат, как прежде, и так поступай с остальными цифрами. После окончания процесса линия результата является произведением.

Пример.

.

Подчеркнутые цифры относятся к искомому результату.

Этот метод через арабов был перенесен в Европу, где появился в работе Луки Пачали (XV - XVI вв.)

Пример. 1435 х 457628

Надо дописать перед первым числом два нуля:

(эту строку можно не выполнять).

Получим ответ: 656696180.

Другие методы умножения основаны на разбиении множимого или множителя на несколько слагаемых, чтобы легче производить умножение.

Пример: 1269 · 21 = (725 + 571) · 21 = 725·21 + 571·21 = 15225 + 11991 = 27216.

Пример: 1296 · 21 = (1000 + 200 + 90 + 6) · 21 = 21000 + 4200 + 1890 + 126 = 27216.

Пример: 1223 · 235

Деление.

Пример: 33152 : 37

а)Разделим 331 на 37, получим 8, которые поместим над делимым, а разность 331 - 37·8 = 331 - 296 = 35 запишем вместо 331.

б) Передвинем делитель на одно место вправо.

в) Разделим 355 на 37, получим 9. Поместим частное над делимым, а разность 355 - 37 · 9 = 355-333=22 поместим вместо 355.

г) Передвинем делитель на одно место вправо.

д) Разделим 222 на 37, получившееся частное 6 поместим над делимым. Т.к. разность 222 - 6·37 = 0, то деление окончено. Стирают делитель. Частное равно 896.

Дроби

В Индии дроби известны очень давно. Индийцы записывали дроби так, как это делается в настоящее время: числитель над знаменателем, только без дробной черты. Друг от друга дроби отделялись вертикальными и горизонтальными линиями.

Например, дробь записывалась . Эта запись встречалась и в позднегреческих папирусах и в китайских книгах.

Сложение обозначалось записью дробей рядом. Для обозначения вычитания употреблялись точка или знак + справа. Например, выражение изображали в виде

В смешанной дроби целая часть помещалась над дробью:

Иногда целое число изображали дробью со знаменателем 1. Смешанная дробь представлялась в виде .

При умножении дроби записывали рядом: , а при делении одну под другой: или.

Как видно сложение и умножение дробей изображались одинаково. То же относится к делению целого числа а на дробь , которое записывали так же, как смешанную дробь.

Правила действий над дробями почти не отличились от современных. Так Шридхара приводит правила: «После приведения дробей к общему знаменателю сложи числители»; «Произведение дробей равно произведению числителей, деленному на произведение знаменателей»; «Квадратный корень (дроби) равен квадратному корню числителя деленному на квадратный корень знаменателя» (Шридхара Патиганита «Физико-математические науки в странах Востока», 1966г., вып. I (IV), стр. 163 - 164).

Для приведения к общему знаменателю индийские ученые сначала составляли произведение знаменателей всех множителей, а начиная с IX века пользовались уже их наименьшим кратным. Так поступал, например Шридхара.

Магавира приводит ряд правил, выражающих любую дробь в виде суммы нескольких дробей с числителем, равным единице.

Правило для разложения единицы на сумму нескольких единичных дробей:

«Когда сумма различных количеств, имеющих единицу своим числителем, равна 1, то знаменателями должны быть числа, которые, начиная с 1-го, последовательно умножаются на 3, а первый и последний знаменатели умножаются дополнительно на 2 и 2/3».

Т.е. (правило 75).

Правило разложения единицы на сумму нечетного числа единичных дробей:

«Когда сумма дробных количеств, имеющих единицу своим числителем, равна 1, то знаменателями должны быть числа которые, начиная с 2, возрастают на единицу, умножаются на последующий знаменатель и делятся пополам».

Т.е. (правило 77).

Магавира отмечает, что если есть данные числители, а сумма дробей равна , то знаменателями соответственно будут величины ;

; ; . Действительно,

.

Если , то получим правило разложения единичных дробей.

Поэтому правилу Магавира решает следующий пример: сумма нескольких дробей, числители которых соответственно 7, 9, 3 и 13, равна 1, затем .

Назовите знаменатели в каждом случае.

Решение

.

Ответ: 8, 136, 340, 20.

При ,.

При , .

При , .

При , и т.д.

Самостоятельно. Найти для .

Правило (80). Если будет суммой нескольких дробей с числителями, равными 1, то первый знаменатель , где -произвольное число, подобранное таким образом, чтобы было целочисленным. Сумма оставшихся дробей будет равна.

.

Аналогично найдем остальные знаменатели.

Магавира излагает два способа разложения единичной дроби на сумму двух других единичных дробей.

1 случай. Знаменатель единичной дроби, умноженный на произвольно выбранное число, есть первый знаменатель, результат, деленный на произвольно выбранное число, уменьшенное на единицу, дробей другой знаменатель, т.е.:

.

Пример:

.

Второй способ: используется тогда, когда основной знаменатель можно разложить на произведение множителей.

.

Для того чтобы выразить любую дробь в виде суммы двух дробей, у которых числители известны, Магавира рекомендует поступать так:

.

Пример. ,

.

.

Единичные дроби часто встречаются у различных народов. Представление различных дробей в виде суммы единичных дробей имеет ряд практических задач, например, египтянами решалась задача: разделить семь хлебов между восемью людьми поровну. Для этого служило разложение.

.

Широко пользовались единичными дробями и греческие математики с IХ в н.э. математики стран ислама в частности ал-Хорезми и ал-Караджи. В средневековой Европе единичные дроби появляются в работах Жанардо Пизанского. У Магавиры среди нескольких примеров и задач имеется следующая: «Сумма , , частей некоторого числа равна . Каково число?».

Решается по правилу ложного положения: «Примем неизвестную величину за единицу, затем следует найти сумму указанных частей. Частное от деления известного числа на полученную сумму дает требуемое число».

Сумма частей равна .

Целесообразно сначала сложить 2-ой и 3-ий, а затем прибавить первый.

Задачи на пропорции

В Индийских сочинениях встречаются задачи на простое и сложное тройное правило, пропорциональное деление, правило товарищества, правило смешения, простые и сложные %, прогрессии. Одни задачи имели непосредственное практическое значение, другие составлялись для упражнения и развлечения. При решении задач, которые выражаются уравнением ax = c, большое место занимало правило одного ложного положения. В анонимной рукописи VI - VIII вв., найденной в Северо-Западной Индии это правило применяется к задачам, приводящимся к уравнению ax +b = c. Решение имеет вид

,

где c1 = ax1 + b.

Более широкое применение имело тройное правило («трай - рашика» - буквально «три места»), состоящее в нахождении числа , составляющего с тремя данными числами a, b, c пропорцию .

Это правило было известно еще египтянам и грекам, но индийцы выделили его как специальный арифметический прием и разработали схемы, позволяющие применять его к задачам, содержащим несколько величин, связанных пропорциями. На тройном правиле были основаны индийские правила 5, 7, 9 и т.д. величин. Например, в правиле 5 величин требуется найти величину x по пропорциям . Ответ дается в виде: . Действительно, , , =>.

Индийцы пользовались также обратным тройным правилом, когда в задаче вместо прямой пропорциональности указывается обратная. Эти правила также были заимствованы у индийцев учеными стран ислама, а через них европейцами. В странах ислама правила 5, 7 и.т.д. величин были обобщены на любое нечетное число.

Правило семи величин:

.

Правило сложной пропорции.

«После перестановки результата из одной стороны в другую следует также поменять местами знаменатели. Перемножив полученные в каждой стороне числа, следует разделить сторону с большим числом числителей на другую сторону».

Задача. Со прибыль за 1/3 месяца составляет . Какова будет прибыль с за 8 без месяцев?

Две стороны таковы:

Сторона данного - 1/3, , ,

Сторона требуемого - 8- , , .

По индийскому образцу это записывается так:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Знак 0 означает неизвестное количество.

Переставим каждый результат из одной стороны в другую:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Переставим знаменатели:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Т.к. количество числителей в правой части больше количества числителей в левой, то разделим произведение числителей и знаменателей в правой части на произведение числителей и знаменателей в левой, получим:

.