1.11 Геометрические задачи

?X книга ?Математика в девяти книгах? посвящена геометрическим задачам, при решении которых применяется теорема Пифагора.

Предполагается, что теорема Пифагора была известна еще в V? в. до н.э. Доказательство этой теоремы было основано на чертеже, в силу которого квадрат, построенный на сумме катетов aи b прямоугольного треугольника, может быть представлен в виде суммы квадрата, построенного на разности этих катетов и четырех прямоугольников со сторонами a и b, и в виде суммы квадрата, построенного на гипотенузе c треугольника и четырех треугольников, равных данному, т.е.:

или

(рис. 2).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Китайцы умели определять выражение радиуса r круга, вписанного в прямоугольный треугольник, через заданные катеты a и b (рис. 3).

.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Значит, им были известны такие геометрические факты, как перпендикулярность радиусов в точках касания касательным, равенство отрезков касательных от точки касания до точки пересечения и т.д. В одной задаче рассматривается вписанный в круг прямоугольный треугольник, причем используется то, что угол, опирающийся на диаметр, прямой.

В ?-??? вв. китайские астрономы и математики, возможно, под влиянием идей, проникавших из Греции через Индию, занимались уточнением отношения окружности к диаметру. Астроном и философ Чжан Хен нашел, что квадрат длины окружности относится к квадрату параметра описанного около нее квадрата, как 5:8, что соответствует . Это приближение имеет погрешность менее 1%. Ученый полководец Ван Фань получил лучшее приближение . Методы этих вычислений нам неизвестны.

Лю Хуэй, рассматривая вписанные в круг правильные многоугольники, получил приближенное значение площади этого круга , что соответствует .Продолжив вычисление до Лю Хуэй получил более точное приближение, в десятичных дробях, равное . С еще большей точностью значение было вычислено астрономом, математиком и инженером Цзу Чун-Чжи, который в недошедшем до нас трактате доказал, что . Ему же принадлежит приближение , равное одной из подходящих дробей при разложении в непрерывную дробь. Точность этих вычислений была превзойдена только ал-Каши в XV веке, приближение нашел голландец В.Отто в 16 веке.

Математика Китая развивалась до 14 века преимущественно как совокупность вычислительных алгоритмов, предназначенных для решения на счетной доске некоторых классов задач арифметики, алгебры, геометрии. Важнейшим достижением китайских математиков было введение отрицательных чисел, которым они дали простейшее толкование.

Существовал культурный обмен между Китаем и Индией, Средней Азией, странами Ислама в 13-15 веках. Через Индию и страны Ислама математика Китая оказывала влияние на математику Европы, хотя многие важные открытия математиков Китая стали известны в Европе значительно позже того, как европейские ученые пришли к этим понятиям самостоятельно.