Практическая часть

Задача 1

Даны вершины треугольника A(-2;0), B(2;4), C(4;0). Составить:

1) параметрические и канонические уравнения трёх сторон;

2) в общем виде уравнение медианы АЕ и высоты АD.

Решение:

Рис. 9 к задаче.

1) Найдём направляющий вектор стороны АВ:

АВ ={2-(-2);4-0}={4;4}, для составления параметрических уравнений стороны АВ, используем координаты точки А и вектора АВ по формуле

или

- параметрические уравнения стороны АВ

Аналогично для сторон ВС и АС:

==, ==

- параметрические уравнения стороны ВС.

- параметрические уравнения стороны АС.

Чтобы записать уравнения сторон в каноническом виде воспользуемся формулой: =, для стороны АВ подставим координаты направляющего вектора АВ и вместо координаты точки А, получим:

= или = - канонические уравнения стороны АВ.

Аналогично для сторон ВС и АС:

= - канонические уравнения стороны ВС.

= или = - канонические уравнения стороны АС.

2) Найдем координаты точки Е, как середину отрезка ВС

===3, ===2 => E(3;2), по формуле

=, для точек А и Е получаем:

= ; =5y; 2x-5y+4=0 - общее уравнение медианы АЕ.

Так как высота АD перпендикулярна стороне ВС воспользуемся признаком перпендикулярности двух прямых ·=-1.

Перепишем канонические уравнения стороны ВС в общем виде, получим 2x+y-8=0, выразим отсюда y, получим уравнение стороны ВС с угловым коэффициентом в виде y=-2x+8, отсюда =-2, значит , по формуле ), для координат точки А и получим:

y-0 =(x+1); 2y = x+2 или x-2y+2=0 уравнение высоты АD. Иначе: нормальный вектор прямой ВС n{2;1} является направляющим

вектором высоты АD, по формуле = для координат точки А и вектора n, получим:

= ; x+2=2y; x-2y+2=0 уравнение высоты АD.

Ответ: 1) AB: , = ;

BC: , = ;

AC: = ;

2) AE: 2x-5y+4=0;

AD: x-2y+2=0.

Задача 2

Составить уравнения прямой, проходящей через точки .

Решение:

Найдём направляющий вектор прямой:

=

Уравнения прямой составим по точке и направляющему вектору ():

= ; )=0

Выполним проверку:

подставим координаты точки в полученные уравнения:

= ; 0

Получены верные равенства. Подставим координаты точки :

= ; 0

Получены верные равенства.

Вывод: канонические уравнения прямой составлены правильно.

Ответ: =

Задача 3

Составить канонические уравнения прямой по точке и направляющему вектору

Решение:

Канонические уравнения прямой составим по формуле:

.

Ответ: .

Задача 4

Составить параметрические уравнения следующих прямых:

а) = ;

б) ;

в) x=0; y-6=0.

Решение:

Прямые заданы каноническими уравнениями и на первом этапе следует найти какую-нибудь точку, принадлежащую прямой, и её направляющий вектор.

а) Из уравнений = снимаем точку и направляющий вектор: (-4;0;5), .

Составим параметрические уравнения данной прямой:

б) Рассмотрим канонические уравнения ; . Выбор точки здесь несложен:

Запишем направляющий вектор , а на оставшееся место поставим ноль: (0;7;-3)..

Составим параметрические уравнения прямой:

в) Перепишем уравнения в виде

то есть «z» может быть любым. А если любым, то пусть, например, . Таким образом, точка принадлежит данной прямой. Для нахождения направляющего вектора используем следующий формальный приём: в исходных уравнениях находятся «x» и «y», и в направляющем векторе на данных местах записываем нули: . На оставшееся место ставим единицу: . Вместо единицы подойдёт любое число, кроме нуля.

Запишем параметрические уравнения прямой:

Ответ: а) ; б) ; в)

Задача 5

Выяснить взаимное расположение двух прямых

: = =, : = = .

1) Вытаскиваем из уравнений точки и направляющие векторы:

: = = => (-4;-5;6), (-2;4;6)

: = = => (0;1;-3), (1;-2;-3)

2) Найдём вектор: =(0-(-4);1-(-5);-3-6)=(4;6;-9)

3) Вычислим смешанное произведение векторов:

(· = -2·-+4·=

=-2·(18+18)-(-36-36)+4·(-12+12)=-72+72+0=0

Таким образом, векторы компланарны, а значит, прямые лежат в одной плоскости и могут пересекаться, быть параллельными или совпадать.

4) Проверим направляющие векторы (-2;4;6), (1;-2;-3) на коллинеарность.

Составим систему из соответствующих координат данных векторов:

Из каждого уравнения следует, что л= -, следовательно, система совместна, соответствующие координаты векторов пропорциональны, и векторы коллинеарны.

Вывод: прямые параллельны либо совпадают.

5) Выясним, есть ли у прямых общие точки. Возьмём точку (-4;-5;6), принадлежащую первой прямой, и подставим её координаты в уравнения прямой :

= = ,

-4?3?-3

Таким образом, общих точек у прямых нет, значит они параллельны.

Ответ: ¦.

Задача 6

Найти точку пересечения прямых

: = = , : = = .

Решение:

Перепишем уравнения прямых в параметрической форме:

: , :

Точка пересечения прямых M( принадлежит прямой поэтому её координаты удовлетворяют параметрическим уравнениям данной прямой, и им соответствует вполне конкретное значение параметра :

M:

Но эта же точка принадлежит и второй прямой, следовательно:

M:

Приравниваем соответствующие уравнения и проводим упрощения:

=>

=>

Получена система трёх линейных уравнений с двумя неизвестными. Если прямые пересекаются, то система обязательно совместна и имеет единственное решение. Из первого уравнения выразим и подставим его во второе и третье уравнение:

=> =>

Тогда:

Подставим найденное значение параметра в уравнения:

=> =>

Для проверки подставим найденное значение параметра в уравнения:

=> => =>

Получены те же самые координаты, что и требовалось проверить.

Ответ: M(8;-8;-8).

Задача 7

Выяснить взаимное расположение прямых

Решение:

1) Находим направляющие векторы и точки, принадлежащие данным прямым. Для нахождения точек удобно использовать нулевые значения параметров: 2) Найдём вектор: 3) Вычислим смешанное произведение векторов:

Таким образом, прямые могут пересекаться, быть параллельными или совпадать. 4) Исследуем направляющие векторы на коллинеарность: , следовательно, направляющие векторы не коллинеарны, и прямые пересекаются. Ответ:

Задача 8

Доказать, что прямые скрещиваются.

Решение:

Найдём точки и направляющие векторы данных прямых:

Найдём вектор:

Вычислим смешанное произведение векторов:

Таким образом, векторы не компланарны, а значит, прямые скрещиваются, что и требовалось доказать.

Задача 9

В правильной четырёхугольной пирамиде ABCDS (с вершиной S) точка M -- середина ребра SC. Постройте сечение пирамиды плоскостью ABM.

Решение:

Сечение изображено на рис. 10.

Рис. 10. К задаче

Самое главное тут -- выяснить, по какой прямой секущая плоскость ABM пересекает плоскость SCD. Для этого заметим, что AB ¦ CD, и по признаку параллельности прямой и плоскости имеем AB ¦ SCD. А из теоремы следует тогда, что прямая MN пересечения плоскостей ABM и SCD параллельна прямой AB (и, стало быть, прямой CD).

Таким образом, MN -- средняя линия треугольника SCD. Сечением пирамиды будет трапеция ABMN. Ответ: трапеция ABMN.

Задача 10

Докажите, что в правильной треугольной пирамиде скрещивающиеся рёбра перпендикулярны.

Решение:

Пусть ABCD -- правильная треугольная пирамида (рис. 10). Докажем, например, что AD ? BC.

Пусть точка M -- середина ребра BC. Рассмотрим плоскость ADM. Ясно, что высота DH нашей пирамиды лежит в этой плоскости (поскольку H лежит на медиане AM).

Докажем, что прямая BC перпендикулярна плоскости ADM. Для этого нам нужно предъявить две пересекающие прямые, лежащие в плоскости ADM и перпендикулярные BC. Какие же это прямые?

Рис. 11. К задаче

Во-первых, это прямая DH. В самом деле, будучи высотой пирамиды, DH перпендикулярна плоскости ABC. По определению это означает, что DH перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости ABC - в частности, прямой BC.

Во-вторых, это прямая AM. Действительно, будучи медианой равностороннего треугольника ABC, отрезок AM является его высотой и потому перпендикулярен BC.

Итак, мы убедились, что BC ? DH и BC ? AM. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости мы заключаем, что BC ? ADM. Стало быть, BC перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости ADM -- в частности, прямой AD. Это мы и хотели доказать.

Обратите внимание, какая схема рассуждений реализована в данной задаче. Допустим, мы хотим доказать, что прямая l перпендикулярна прямой m. Действуем следующим образом:

1. Берём подходящую плоскость р, в которой лежит прямая l.

2. В плоскости р находим две пересекающиеся прямые a и b, такие, что m ? a и m ? b.

3. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости делаем вывод, что m ? р.

4. По определению перпендикулярности прямой и плоскости заключаем, что прямая m перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости р. В частности, m ? l, что и требовалось.

Задача 11

Найти точку пересечения прямой и плоскости 2x-y+z+4=0.

Решение:

Рассмотрим взаимное расположение прямой и плоскости:

3· 2 + 2· (-1) + (-1)·1 = 3 ? 0, значит прямая и плоскость пересекается. Перепишем уравнение прямой в параметрическом виде:

Подставим эти уравнения прямой в уравнения плоскости, найдём значение параметра t:

Чтобы найти координаты точки пересечения прямой и плоскости подставим значение t в параметрические уравнения прямой:

Ответ: - точка пересечения прямой и плоскости.

Задача 12

Найти проекцию точки А (3;2;-1) на прямую .

Решение:

Составим уравнение плоскости, проходящей через точку А перпендикулярно данной прямой x-3+y-2+2(z+1) = 0, x+y+2z-5=0. Найдем точку пересечения прямой и плоскости - это и будет проекция точки А, для этого перепишем уравнение прямой в параметрическом виде x=2+t, y=-3+t, z=2t, подставим в уравнение плоскости 2+t-3+t+2Ч2t-5=0, t = Получаем x=2+1=3, y=- 3+1=- 2, z=2.

Ответ: (3;-2;2)

Задача 13

Найти проекцию прямой на плоскость x+2y+3z+4=0.

Решение:

Так как проекция лежит в данной плоскости, то x+2y+3z+4=0 есть одно из уравнений проекции. Второе уравнение будет уравнением проектирующей плоскости, которая проходит через данную прямую, значит проходит через точку (3;-1;1) и компланарна вектору . Так как проектирующая плоскость перпендикулярна плоскости x+2y+3z+4=0, значит нормальный вектор будет направляющим для этой плоскости. Итак, , уравнение проектирующей плоскости =0 или

Ответ:

Задача 14

Выяснить взаимное расположение прямой, заданной точкой и направляющим вектором (3;-2;4), и плоскости 2x-3y-3z+12=0.

Решение:

Вытащим вектор нормали плоскости: (2;-3;-3). Вычислим скалярное произведение вектора нормали плоскости и направляющего вектора прямой: ·= 2·2-3·(-2)-3·4=6+66-12=0, значит, прямая либо параллельна плоскости, либо лежит в ней.

Подставим координаты точки в уравнение плоскости:

2·0-3·5-3·(-1)=12=0

2·0-3·5-3·(-1)+12=0

0-15+3+12=0

0=0

Получено верное равенство, следовательно, точка лежит в данной плоскости. Разумеется, и любая точка прямой тоже будет принадлежать плоскости.

Ответ: прямая лежит в плоскости.