logo search
Пак - Линейные операторы

§4.1.6. Самосопряженный линейный оператор

Пусть и– линейные операторы, действующие в евклидовом пространствеЕ. Линейный операторназываетсясопряженным с линейным оператором , если для любых двух вектороваиbизЕ

.

Теорема. Для любого линейного оператора , действующего в евклидовом пространствеЕ, существует и притом единственный сопряженный ему линейный оператор.

Доказательство следует из свойств скалярного произведения. ■

Свойства сопряжения

  1. ;

  3. ;;

  5. ;

  6. если линейный оператор невырожден, то ;

  7. для любого целого неотрицательногоm.

В силу свойства один линейные операторыисопряжены друг другу. Свойство 3 в комплексном евклидовом пространстве приобретает вид.

Теорема. ЕслиА – матрица линейного операторав некотором ортонормированном базисе, то– матрица линейного операторав этом же базисе.

Доказательство.ПустьТогда. С другой стороны. Отсюда,aij = bji для всехi, j;

1 i, j n. ■

Если=, то линейный операторназываетсясамосопряженным.

Теорема. Матрица самосопряженного линейного оператора в ортонормированном базисе симметрична.

Доказательство. =. ■

Теорема. Если матрица линейного оператора в некотором ортонормированном базисе симметрична, то линейный оператор самосопряженный.

Доказательство. Дано:

На базисных векторах линейный оператор ведет себя как самосопряженный. Пусть

С другой стороны . Правые части равны, поэтому равны и левые части, следовательно, (для любых вектороваиbизЕ. Это означает, что– самосопряженный линейный оператор. ■

Теорема. Собственные векторы самосопряженного линейного оператора, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны.

Доказательство. Пусть. Тогда

Правые части этих равенств равны, так как линейный оператор самосопряжен, поэтому равны и левые, т.е.ввиду того, что■

Теорема. Корни характеристического многочлена симметрической матрицы с действительными коэффициентами действительны.

Доказательство. Пусть– корень характеристического многочлена матрицыА с действительными коэффициентами. Тогда существует ненулевое решениеоднородной системы линейных уравнений с матрицей, т.е. имеем систему равенств

,

где . После умножения каждого из этих равенств соответственно наполучимили после суммирования всех равенств. В этом равенстве перейдем к сопряженным величинам. В силу симметричности матрицыАлевые части двух последних равенств равны, поэтому равны и правые части, поэтому. ■

Теорема. Для любой симметрической матрицыAс действительными элементами найдется ортогональная матрицаQ , для которой матрица Q-1AQдиагональная.

Доказательство проведем методом полной математической индукции по порядкуnматрицыА. МатрицуА рассматриваем как матрицу линейного операторав некотором ортонормированном базисеn-мерного евклидового пространств. Пустьс1– собственный вектор линейного оператора, принадлежащий собственному значению. Он существует, так как все характеристические корни матрицы А действительны. Считаем, что векторс1нормирован и включим его в ортонормированный базисс1, с2, …, сnевклидова пространства. Подпространство, натянутое на векторыс2, …, сn, инвариантно относительнои по гипотезе индукции в нем существует базис, в котором матрица линейного оператора, индуцированного линейным оператором, диагональна. Тогда матрица линейного операторав базисес1, с2, …, сn диагональна. МатрицаQ перехода от первоначального базиса к базисус1, с2, …, сn искомая. ■