§4.3.8. Построение канонического базиса в общем случае
Линейное пространство является прямой суммой корневых подпространств, если характеристический многочлен линейного оператора разлагается на линейные множители над основным полемК. Поэтому достаточно построить канонический базис каждого корневого подпространства и их объединение – это канонический базис линейного пространства.
Пример.Матрица линейного оператораА в базисе линейного пространства имеет вид:
Построить канонический базис.
В этом примере мы будем записывать координаты вектора не в виде матрицы-строки, а в виде матрицы-столбца. Это сделано в связи с тем, что во многих учебниках применяется такая запись и студентам неизбежно придется осваивать обе формы записи. Характеристический многочлен линейного оператора
целиком раскладывается на линейные множители. Его корни 1= 0,2= -1.
Линейное пространство L можно представить в виде прямой суммы корневых подпространств
L = N0 N-1,, где N0 = Ker A4, N-1 = Ker(A + ).
Построим канонический базис подпространства N0. Для этого прежде всего найдем базисы подпространствMi = Ker(A -0)i из возрастающей цепочки
= M0 M1 M2 M3 M4 = N0.
В этой цепочке вначале идут строгие включения, а затем равенства. Найдем абсолютный базис M1 = Ker A.
Вектор хKer A A(x) = AX =, гдеX = (x1 x2 x3 x4 x5 x6 )T – матрица-столбец координат вектора х. Значок Т указывает на то, что необходимо матрицу транспонировать.
Запишем и решим систему AX = .
Прибавим ко второму уравнению первое, домноженное на 3, к третьему первое, домноженное на 2. Обе части четвертого уравнения разделим на 3. К шестому уравнению прибавим пятое, домноженное на 2. Новое шестое уравнение совпало с четвертым. Обе части пятого уравнения домножим на –1. Система преобразовалась к следующему виду:
Объявим базисными переменными х1, х4, х6, а свободнымих2, х3, х5 . Тогда
Решение системы
любые числа;
Rang A =3, dim M1 =6 –3 =3. БазисМ1:
Найдем базис M2= Ker A2.
Вектор хKer A2 A2(x) = A2 X =, гдеX = (x1 x2 x3 x4 x5 x6)T – матрица-столбец координат вектора х.
Запишем и решим систему A2X =,
.
Система преобразовалась к виду
Решение системы – любые числа;
rang A2 =2, dimM2 = 6 –2 = 4.
Базис М2 : а1, а2, а3, 2а4 – а5 + а6.
rang A3 =2, dimM3 = 4 М2 = М3 = N0.
М1 М2 = N0 . dimM1 = 3, dimM2 = 4.
Базис М1достроим до базисаМ2. Добавим к базисуМ1 вектора1. Ранг матрицы
составленной из коэффициентов векторов а1, -а1+а2, а1+а3, 2а4+а5–а6, равен 4. Следовательно, эти четыре вектора – базисМ2. БазисМ2 получен из базисаМ1добавлением вектораа1, т.е. а1 –базисМ2 относительноМ1. ВекторА(а1) = а1–3а2 –2а3 М1можно включить в базисМ1вместо вектора –а1 +а2.
Так как векторы а1 –3а2–2а3,а1+а3, 2а4+а5–а6линейно независимы – ранг матрицы из их коэффициентов равен трем:
Канонический базис N0: e1=a1,
е2 = A(a1),
е3 = a2 – a1,
е4 = 2a4 +a5 = a6.
Построим канонический базис подпространства N-1.Найдем базисы подпространствMi = Ker Bi из возрастающей цепочки
= M0 M1 M2 = N-1; B = (A +).
Найдем абсолютный базис M1 = Ker B. Векторх Ker B
B(x) = BX =, гдеX = (x1 x2 x3 x4x5 x6 )T – матрица-столбец координат вектора х. Запишем и решим систему BX =,
B=
Решение системы: х1= 0,
х2= 0,
х3= 0,
х4= 3,
х5= 3,
х6= -4,– любое число.
Вектор 3а4 + 3а5-4а6 – базис М1.
Найдем абсолютный базис M2 =KerB2. Векторх KerB2 B2(x) = B2X =, гдеX =(x1 x2 x3 x4 x5 x6)T – матрица -столбец координат вектора х. Запишем и решим системуB2X =,
rang B2 = 4, dim M2 = 6 –4 = 2,
Решение системы: х1 = 0,
х2 = 0,
х3 = 0,
х4 = 3+3,
х5 = ,
х6 = 2;,– любые числа;
Векторы 3а4+а5, 3а4+2а6 – базис М2.
Так как кратность корня –1 равна двум, то = M0 M1 M2=N-1.
Найдем относительный базис M1 относительно M2. Так как ранг матрицы, составленной из координат векторов 3а4+ 3а5 - 4а6, 3а4+ 2а6, равен двум, то эти векторы линейно независимы вМ2, и мы заменим полученный базис на новый базис, состоящий из этих элементов. Следовательно,f1= 3а4+2a6 – базисM1 относительно M2. Векторыf1 иВ(f1)– базис башни.
е1 =а1,B(e1)а1 –3а2 –2а3,
e2=а2-а1,
e3 = -2а4–а5+ а6,
f1 = 3а4+2а6,
B(f1) = 9а4+9а5–12а6 – канонический базис.
Матрица линейного оператора в этом базисе
состоит из четырех клеток Жордана, две клетки второго порядка и две – первого.
- Модуль 4. Линейные операторы. Квадратичные формы Глава 4.1. Линейные операторы §4.1.1. Линейные операторы в линейном пространстве
- Упражнения
- §4.1.2. Ядро и образ линейного оператора
- Упражнения
- §4.1.3. Матрица линейного оператора
- Упражнения
- §4.1.4. Сумма и произведение линейных операторов
- Упражнения
- §4.1.5. Собственные векторы и собственные значения
- Упражнения
- §4.1.6. Самосопряженный линейный оператор
- Упражнения
- §4.1.7. Группа ортогональных матриц
- Упражнения
- §4.1.8. Ортогональный линейный оператор
- Упражнения
- Глава 4.2. Квадратичные формы
- §4.2.1. Матричная запись квадратичной формы
- Упражнения
- §4.2.2. Теорема Лагранжа
- Упражнения
- §4.2.3. Закон инерции
- Упражнения
- §4.2.4. Положительно определенные квадратичные формы
- Упражнения
- §4.2.5. Приведение квадратичной формы к главным осям
- §4.2.6. Билинейная форма
- Упражнения
- §4.2.7. Применение квадратичных форм к исследованию линий и поверхностей второго порядка
- Упражнения
- Глава 4.3. Каноническая форма Жордана
- §4.3.1. Относительная линейная независимость
- §4.3.2. Относительный базис
- §4.3.3. Корневые векторы
- Упражнения
- §4.3.4. Корневое подпространство
- Упражнения
- §4.3.5. Канонический базис
- §4.3.6. Циклическое подпространство
- §4.3.7. Построение канонического базиса в корневом подпространстве
- §4.3.8. Построение канонического базиса в общем случае
- §4.3.9. Единственность канонической формы Жордана