§4.2.5. Приведение квадратичной формы к главным осям
Теорема. (о приведении квадратичной формы к главным осям).Любую квадратичную форму с помощью ортогонального преобразования переменных можно привести к каноническому виду.
Доказательство. МатрицаАквадратичной формы симметрична, а для симметричной матрицы найдется ортогональная матрицаQ такая, что матрицаQ- 1AQ диагональна. Подвергнув квадратичную форму ортогональному преобразованию с матрицейQ, мы приведем ее к каноническому виду. ■
Теорема. Квадратичная форма с помощью ортогонального преобразования переменных приводится к каноническому виду, коэффициентами которого являются корни характеристического многочлена матрицы квадратичной формы, взятые с их кратностями.
Доказательство. Пусть квадратичная формаf некоторым ортогональным преобразованием переменных приведена к каноническому виду
Легко видеть, что ортогональное преобразование оставляет инвариантной сумму квадратов переменных, поэтому
Квадрат определителя ортогональной матрицы равен 1. А определитель матрицы преобразованной квадратичной формы отличается от определителя матрицы исходной квадратичной формы на квадрат определителя матрицы линейного преобразования. Отсюда,
. ■
Следствие. Для любой ортогональной матрицы, приводящей к диагональному виду симметрическую матрицу, на главной диагонали полученной диагональной матрицы располагаются характеристические корни симметрической матрицы, взятые с их кратностями.
Пример.Приведите к главным осям квадратичную форму
Матрица квадратичной формы имеет вид
А = .
Найдем ее характеристический многочлен
Матрица Аимеет трехкратный характеристический корень 1 и простой характеристический корень – 3. Таким образом,
–
канонический вид, к которому квадратичная форма приводится ортогональным преобразованием.
Для нахождения ортогонального преобразования, осуществляющего это приведение, необходимо найти собственные векторы линейного оператора, матрицей которого в некотором ортонормированном базисе является матрица А.Придля этого надо решить однородную систему линейных уравнений
Ранг системы равен 1 и поэтому фундаментальная система решений состоит из трех решений. Например,
b1= (1, 1, 0, 0),
b2= (1, 0, 1, 0),
b3= (-1, 0, 0, 1).
Ортогонализируя эту систему, получим
с1 = b1= (1, 1, 0, 0),
с2= с1+b2= (,, 1, 0),
с3=с1+ с3+b3= (, , , 1).
При надо решить однородную систему линейных уравнений
Ранг системы равен 3 и поэтому фундаментальная система решений состоит из одного решения. Например, с4= (1, -1, -1, 1).
Нормируя ортогональную систему векторов с1,с2,с3,с4, получим ортонормированную систему векторов
Таким образом, форма приводится к главным осям ортогональным преобразованием:
Следует отметить, что ответ неоднозначен.
- Модуль 4. Линейные операторы. Квадратичные формы Глава 4.1. Линейные операторы §4.1.1. Линейные операторы в линейном пространстве
- Упражнения
- §4.1.2. Ядро и образ линейного оператора
- Упражнения
- §4.1.3. Матрица линейного оператора
- Упражнения
- §4.1.4. Сумма и произведение линейных операторов
- Упражнения
- §4.1.5. Собственные векторы и собственные значения
- Упражнения
- §4.1.6. Самосопряженный линейный оператор
- Упражнения
- §4.1.7. Группа ортогональных матриц
- Упражнения
- §4.1.8. Ортогональный линейный оператор
- Упражнения
- Глава 4.2. Квадратичные формы
- §4.2.1. Матричная запись квадратичной формы
- Упражнения
- §4.2.2. Теорема Лагранжа
- Упражнения
- §4.2.3. Закон инерции
- Упражнения
- §4.2.4. Положительно определенные квадратичные формы
- Упражнения
- §4.2.5. Приведение квадратичной формы к главным осям
- §4.2.6. Билинейная форма
- Упражнения
- §4.2.7. Применение квадратичных форм к исследованию линий и поверхностей второго порядка
- Упражнения
- Глава 4.3. Каноническая форма Жордана
- §4.3.1. Относительная линейная независимость
- §4.3.2. Относительный базис
- §4.3.3. Корневые векторы
- Упражнения
- §4.3.4. Корневое подпространство
- Упражнения
- §4.3.5. Канонический базис
- §4.3.6. Циклическое подпространство
- §4.3.7. Построение канонического базиса в корневом подпространстве
- §4.3.8. Построение канонического базиса в общем случае
- §4.3.9. Единственность канонической формы Жордана