§4.3.9. Единственность канонической формы Жордана
Теорема.Матрицы линейного оператора в двух разных канонических базисах составлены из одних и тех же клеток и отличаются лишь порядком расположения клеток.
Доказательство. Возьмем два канонических базиса линейного пространства для линейного оператора. Суммы порядков клеток Жордана матрицы линейного оператора для его фиксированного собственного значения равны кратности этого собственного значения как корня характеристического многочлена линейного оператора.
Поэтому она одна и та же для матриц линейного оператора в разных канонических базисах (так как матрицы линейного оператора в разных базисах подобны, характеристические многочлены подобных матриц равны и многочлены представляются в виде произведения неприводимых множителей единственным образом). Тем самым доказательство теоремы сводится к доказательству утверждения в корневом пространстве.
Фиксируем произвольное собственное значение линейного оператора и пусть корневое пространство представимо в виде прямой суммы циклических подпространств двумя способами
Нам надо доказать, что r= s, ki = li. Без ограничения общности можно считать, чтоk1 k2 ... ks , l1 l2 ... lr. Предположим, чтоk1 = l1 , ... ,, kj > lj;. Тогда
= (l1–lj) + ... + (lj-1–lj) =k1–lj) + ... + (kj –1–lj)
(так какk1=l1, ... ,kj –1=lj –1)(kj–lj) + ... = 0.
В сумме (kj – lj) + ... все слагаемые или равны нулю или положительны. Получили противоречие с тем, что она должна равняться нулю. Продолжив рассуждения аналогичным образом, получимki = li , r = s.
- Модуль 4. Линейные операторы. Квадратичные формы Глава 4.1. Линейные операторы §4.1.1. Линейные операторы в линейном пространстве
- Упражнения
- §4.1.2. Ядро и образ линейного оператора
- Упражнения
- §4.1.3. Матрица линейного оператора
- Упражнения
- §4.1.4. Сумма и произведение линейных операторов
- Упражнения
- §4.1.5. Собственные векторы и собственные значения
- Упражнения
- §4.1.6. Самосопряженный линейный оператор
- Упражнения
- §4.1.7. Группа ортогональных матриц
- Упражнения
- §4.1.8. Ортогональный линейный оператор
- Упражнения
- Глава 4.2. Квадратичные формы
- §4.2.1. Матричная запись квадратичной формы
- Упражнения
- §4.2.2. Теорема Лагранжа
- Упражнения
- §4.2.3. Закон инерции
- Упражнения
- §4.2.4. Положительно определенные квадратичные формы
- Упражнения
- §4.2.5. Приведение квадратичной формы к главным осям
- §4.2.6. Билинейная форма
- Упражнения
- §4.2.7. Применение квадратичных форм к исследованию линий и поверхностей второго порядка
- Упражнения
- Глава 4.3. Каноническая форма Жордана
- §4.3.1. Относительная линейная независимость
- §4.3.2. Относительный базис
- §4.3.3. Корневые векторы
- Упражнения
- §4.3.4. Корневое подпространство
- Упражнения
- §4.3.5. Канонический базис
- §4.3.6. Циклическое подпространство
- §4.3.7. Построение канонического базиса в корневом подпространстве
- §4.3.8. Построение канонического базиса в общем случае
- §4.3.9. Единственность канонической формы Жордана