Упражнения

1. Является ли ортогональным линейный оператор , действующий на векторы ортонормированного базиса по формулам

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

2. Докажите, что если два вектора евклидова пространства имеют одну длину, то существует ортогональный линейный оператор, переводящий один вектор в другой.

3. Пусть даны две системы векторов x₁,…,x_k иy₁,…,y_kевклидова пространства. Для того, чтобы существовал ортогональный линейный оператор, для которого, необходимо и достаточно, чтобы матрицы Грамма обеих систем векторов совпадали:.

4. Докажите, что ортогональное дополнение к линейному подпространству, инвариантному относительного ортогонального линейного оператора, также инвариантно относительно этого оператора.

5. Докажите эквивалентность следующих утверждений

а) линейный оператор ортогонален;

б) – тождественное отображение;

в) линейный оператор невырожденный и обратный линейный операторсовпадает с;

г) линейный оператор ортогонален;

д) – тождественное отображение.

6. Найдите ортонормированный базис собственных векторов и матрицу в этом базисе для линейного оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей А

а) б)

; .

7. Образуют ли подгруппу в группе всех ортогональных операторов евклидова пространства

а) подмножество операторов с определителем 1;

б) подмножество операторов с определителем -1?