Пак - Линейные операторы
Упражнения
Докажите, что две квадратичные формы переводятся друг в друга невырожденными линейными преобразованиями тогда и только тогда, когда имеют одинаковые индексы инерции.
Квадратичная форма имеет наперед заданный канонический вид тогда и только тогда, когда ее положительный индекс инерции равен числу положительных коэффициентов в этом каноническом виде, а отрицательный индекс инерции равен числу отрицательных коэффициентов.
Квадратичная форма называется распадающейся, если ее можно представить в виде произведения двух линейных форм. Для того, чтобы квадратичная форма распадалась необходимо и достаточно, чтобы ее ранг был не выше одного или оба индекса инерции равны по одному. Докажите это.
Вычислите индексы инерции для квадратичных форм
,,.
Содержание
- Модуль 4. Линейные операторы. Квадратичные формы Глава 4.1. Линейные операторы §4.1.1. Линейные операторы в линейном пространстве
- Упражнения
- §4.1.2. Ядро и образ линейного оператора
- Упражнения
- §4.1.3. Матрица линейного оператора
- Упражнения
- §4.1.4. Сумма и произведение линейных операторов
- Упражнения
- §4.1.5. Собственные векторы и собственные значения
- Упражнения
- §4.1.6. Самосопряженный линейный оператор
- Упражнения
- §4.1.7. Группа ортогональных матриц
- Упражнения
- §4.1.8. Ортогональный линейный оператор
- Упражнения
- Глава 4.2. Квадратичные формы
- §4.2.1. Матричная запись квадратичной формы
- Упражнения
- §4.2.2. Теорема Лагранжа
- Упражнения
- §4.2.3. Закон инерции
- Упражнения
- §4.2.4. Положительно определенные квадратичные формы
- Упражнения
- §4.2.5. Приведение квадратичной формы к главным осям
- §4.2.6. Билинейная форма
- Упражнения
- §4.2.7. Применение квадратичных форм к исследованию линий и поверхностей второго порядка
- Упражнения
- Глава 4.3. Каноническая форма Жордана
- §4.3.1. Относительная линейная независимость
- §4.3.2. Относительный базис
- §4.3.3. Корневые векторы
- Упражнения
- §4.3.4. Корневое подпространство
- Упражнения
- §4.3.5. Канонический базис
- §4.3.6. Циклическое подпространство
- §4.3.7. Построение канонического базиса в корневом подпространстве
- §4.3.8. Построение канонического базиса в общем случае
- §4.3.9. Единственность канонической формы Жордана