§4.3.1. Относительная линейная независимость

Определение.Векторы называютсялинейно независимыми относительно подпространства N,если из того, что их линейная комбинация принадлежит подпространству, следует, что все коэффициенты линейной комбинации равны нулю, т.е.

.

Линейная независимость относительно нулевого подпространства совпадает с обычной линейной независимостью. Векторы, линейно независимые относительно подпространства, линейно независимы. Обратное выполняется не всегда.

Теорема. Векторы линейного пространстваV/Kлинейно независимы относительно подпространстваNтогда и только тогда, когда их объединение с базисом подпространства образует линейно независимую систему.

Доказательство.  Предположим, что векторылинейного пространстваV/Kлинейно независимы относительно подпространстваN,– базисN/Kи

.

Система линейно независима.

 Пусть векторы линейно независимы в линейном пространствеV/K, где– базис пространстваN, и пусть. Тогда

.

Итак, как только , так сразу. Это означает, что системалинейно независима относительно подпространства. ■