§4.3.6. Циклическое подпространство

Пусть  – собственное значение линейного оператора , действующего в линейном пространствеV/K,=-, с – корневой вектор высотыh, принадлежащий собственному значению. Подпространство, порожденное векторамис,(с), ²(с), ... ,^{h –1}(с), называетсяциклическим.

Теорема. Векторыс,(с),²(с), ... ,^h–1(с) образуют канонический базис циклического подпространства.

Доказательство. Предположим, что

₁с +₂(с) +₃²(с) + ... +_k^{h –1}(с) =.

Подействовав на обе части этого равенства линейным оператором ^{h –1}, получим₁^{h –1}(с) =₁= 0.

Подействовав на обе части этого равенства линейным оператором ^{h –2}, получим₂= 0, ...,_k= 0.

Следовательно, векторы линейно независимы. Получили линейно независимую систему образующих подпространства, т.е. базис. Линейный оператор =+ действует на элементы этого базис

с=с+с,

(с) =(с) +²с,

(²с) =²(с) +³с,

... ... ... ... ... ... … …

(^{h -2}с) =^{h -2}(с) +^{h -1}с,

(^{h -1}с) =^{h -1}(с).

Из этой системы равенств следует, что подпространство инвариантно относительно линейного оператора .

Иными словами, линейный оператор индуцируетлинейный оператор подпространства, который мы тоже обозначаем буквой. Матрица индуцированного линейного оператора в этом базисе подпространства имеет видJ_h (), т.е. базис канонический. ■