§4.1.6. Самосопряженный линейный оператор
Пусть и– линейные операторы, действующие в евклидовом пространствеЕ. Линейный операторназываетсясопряженным с линейным оператором , если для любых двух вектороваиbизЕ
.
Теорема. Для любого линейного оператора , действующего в евклидовом пространствеЕ, существует и притом единственный сопряженный ему линейный оператор.
Доказательство следует из свойств скалярного произведения. ■
Свойства сопряжения
;
;;
;
если линейный оператор невырожден, то ;
для любого целого неотрицательногоm.
В силу свойства один линейные операторыисопряжены друг другу. Свойство 3 в комплексном евклидовом пространстве приобретает вид.
Теорема. ЕслиА – матрица линейного операторав некотором ортонормированном базисе, то– матрица линейного операторав этом же базисе.
Доказательство.ПустьТогда. С другой стороны. Отсюда,aij = bji для всехi, j;
1 i, j n. ■
Если=, то линейный операторназываетсясамосопряженным.
Теорема. Матрица самосопряженного линейного оператора в ортонормированном базисе симметрична.
Доказательство. =. ■
Теорема. Если матрица линейного оператора в некотором ортонормированном базисе симметрична, то линейный оператор самосопряженный.
Доказательство. Дано:
На базисных векторах линейный оператор ведет себя как самосопряженный. Пусть
С другой стороны . Правые части равны, поэтому равны и левые части, следовательно, (для любых вектороваиbизЕ. Это означает, что– самосопряженный линейный оператор. ■
Теорема. Собственные векторы самосопряженного линейного оператора, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны.
Доказательство. Пусть. Тогда
Правые части этих равенств равны, так как линейный оператор самосопряжен, поэтому равны и левые, т.е.ввиду того, что■
Теорема. Корни характеристического многочлена симметрической матрицы с действительными коэффициентами действительны.
Доказательство. Пусть– корень характеристического многочлена матрицыА с действительными коэффициентами. Тогда существует ненулевое решениеоднородной системы линейных уравнений с матрицей, т.е. имеем систему равенств
,
где . После умножения каждого из этих равенств соответственно наполучимили после суммирования всех равенств. В этом равенстве перейдем к сопряженным величинам. В силу симметричности матрицыАлевые части двух последних равенств равны, поэтому равны и правые части, поэтому. ■
Теорема. Для любой симметрической матрицыAс действительными элементами найдется ортогональная матрицаQ , для которой матрица Q-1AQдиагональная.
Доказательство проведем методом полной математической индукции по порядкуnматрицыА. МатрицуА рассматриваем как матрицу линейного операторав некотором ортонормированном базисеn-мерного евклидового пространств. Пустьс1– собственный вектор линейного оператора, принадлежащий собственному значению. Он существует, так как все характеристические корни матрицы А действительны. Считаем, что векторс1нормирован и включим его в ортонормированный базисс1, с2, …, сnевклидова пространства. Подпространство, натянутое на векторыс2, …, сn, инвариантно относительнои по гипотезе индукции в нем существует базис, в котором матрица линейного оператора, индуцированного линейным оператором, диагональна. Тогда матрица линейного операторав базисес1, с2, …, сn диагональна. МатрицаQ перехода от первоначального базиса к базисус1, с2, …, сn искомая. ■
- Модуль 4. Линейные операторы. Квадратичные формы Глава 4.1. Линейные операторы §4.1.1. Линейные операторы в линейном пространстве
- Упражнения
- §4.1.2. Ядро и образ линейного оператора
- Упражнения
- §4.1.3. Матрица линейного оператора
- Упражнения
- §4.1.4. Сумма и произведение линейных операторов
- Упражнения
- §4.1.5. Собственные векторы и собственные значения
- Упражнения
- §4.1.6. Самосопряженный линейный оператор
- Упражнения
- §4.1.7. Группа ортогональных матриц
- Упражнения
- §4.1.8. Ортогональный линейный оператор
- Упражнения
- Глава 4.2. Квадратичные формы
- §4.2.1. Матричная запись квадратичной формы
- Упражнения
- §4.2.2. Теорема Лагранжа
- Упражнения
- §4.2.3. Закон инерции
- Упражнения
- §4.2.4. Положительно определенные квадратичные формы
- Упражнения
- §4.2.5. Приведение квадратичной формы к главным осям
- §4.2.6. Билинейная форма
- Упражнения
- §4.2.7. Применение квадратичных форм к исследованию линий и поверхностей второго порядка
- Упражнения
- Глава 4.3. Каноническая форма Жордана
- §4.3.1. Относительная линейная независимость
- §4.3.2. Относительный базис
- §4.3.3. Корневые векторы
- Упражнения
- §4.3.4. Корневое подпространство
- Упражнения
- §4.3.5. Канонический базис
- §4.3.6. Циклическое подпространство
- §4.3.7. Построение канонического базиса в корневом подпространстве
- §4.3.8. Построение канонического базиса в общем случае
- §4.3.9. Единственность канонической формы Жордана