Упражнения
Дифференцирование является линейным оператором линейного пространства всех многочленов от одного переменного с вещественными коэффициентами степени n. Найдите матрицу этого линейного оператора в базисе
а) 1, х,х2, …,xn; б) 1,х – с,, …,;с– вещественное число.
Докажите, что следующие условия эквивалентны:
(1) матрица линейного оператора в некотором базисе невырождена;
(2)
(3) переводит базис в базис;
(4) –инъекция, т.е.;
(5) –сюръекция, т.е.;
(6) для существует обратный линейный оператор, т.е.для всеххизV.
Пусть Оij– правая декартова система координат на плоскостиR2. Найдите в этом базисе матрицу линейного оператора поворотаR2на уголвокруг начала координат против часовой стрелки.
Пусть i, j, k – правый ортонормированный базис трехмерного евклидова пространства R3геометрических векторов. Найдите матрицу линейного оператораАх = ,гдеа– фиксированный вектор с координатамив этом базисе.
Найдите матрицу оператора дифференцирования в двумерном линейном пространстве, натянутом на базисные функции:
а)б).
Линейное пространство X является прямой суммой подпространств L1иL2 , - базис подпространстваL1, – базисL2. Найдите в базисе
а) матрицу оператора проектирования на L1параллельноL2;
б) матрицу оператора проектирования на L2 параллельно L1;
в) матрицу оператора отражения в L1параллельноL2.
Линейный оператор А, действующий в трехмерном арифметическом пространстве, переводит линейно независимые векторыв векторы, гдеа1= 5е1 + 3е2 +е3, а2=е1 - 3е2 - 2е3 а3=е1 + 2е2 +е3;
b1= -2е1 +е2 , b2= -е1 + 3е2 , b3=-2е1 - 3е2
Найдите матрицу этого линейного оператора в базисе а) ; в).
В базисе линейного пространства квадратных матриц порядка 2:
.
записать матрицу линейного оператора
а) транспонирования: Х ;
б) GAB:Х АХВ, гдеАиВ – заданные матрицы;
в) FAB :Х АХ + ХВ.
Как изменятся эти матрицы, если в базисе поменять местами матрицы:
?
- Модуль 4. Линейные операторы. Квадратичные формы Глава 4.1. Линейные операторы §4.1.1. Линейные операторы в линейном пространстве
- Упражнения
- §4.1.2. Ядро и образ линейного оператора
- Упражнения
- §4.1.3. Матрица линейного оператора
- Упражнения
- §4.1.4. Сумма и произведение линейных операторов
- Упражнения
- §4.1.5. Собственные векторы и собственные значения
- Упражнения
- §4.1.6. Самосопряженный линейный оператор
- Упражнения
- §4.1.7. Группа ортогональных матриц
- Упражнения
- §4.1.8. Ортогональный линейный оператор
- Упражнения
- Глава 4.2. Квадратичные формы
- §4.2.1. Матричная запись квадратичной формы
- Упражнения
- §4.2.2. Теорема Лагранжа
- Упражнения
- §4.2.3. Закон инерции
- Упражнения
- §4.2.4. Положительно определенные квадратичные формы
- Упражнения
- §4.2.5. Приведение квадратичной формы к главным осям
- §4.2.6. Билинейная форма
- Упражнения
- §4.2.7. Применение квадратичных форм к исследованию линий и поверхностей второго порядка
- Упражнения
- Глава 4.3. Каноническая форма Жордана
- §4.3.1. Относительная линейная независимость
- §4.3.2. Относительный базис
- §4.3.3. Корневые векторы
- Упражнения
- §4.3.4. Корневое подпространство
- Упражнения
- §4.3.5. Канонический базис
- §4.3.6. Циклическое подпространство
- §4.3.7. Построение канонического базиса в корневом подпространстве
- §4.3.8. Построение канонического базиса в общем случае
- §4.3.9. Единственность канонической формы Жордана