Упражнения

1. Докажите, что сумма и пересечение подпространств, инвариантных относительно линейного оператора , также инвариантны относительно.

2. Докажите, что ядро и образ линейного оператора, действующего в линейном пространстве, инвариантны относительно .

3. Докажите, что линейные операторы  и – имеют одни и те же инвариантные подпространства, –любое число.

4. Докажите, что если линейный оператор  невырожден, то и ^-1 имеют одни и те же инвариантные подпространства.

5. Пусть с– корневой вектор линейного оператора, принадлежащий собственному значению и имеющий высотуh > 0. Докажите, что линейная оболочка для векторов

( - )^{h –1}c, ( - )^{h –2} c, ..., ( - )c

является инвариантным подпространством линейного оператора .

6. Докажите, что корневое подпространство линейного оператора  является инвариантным подпространством любого линейного оператора, перестановочного с.