Фундаментальная система решений (фср) для линейной однородной системы оду. Существование фср и их взаимосвязь. Общее решение линейной однородной неоднородной системы.
def: Линейно независимая система решений системы (2) называется фундаментальной системой решений (ФСР) системы (2), а матрица
называется фундаментальной матрицей решений (ФМР) системы (2).
Теорема:
ФСР системы (2) существуют. Их бесконечно много. Все они могут быть получены из одной по формуле , где – фиксированная ФМР, а S – матрица , с условием .
Доказательство:
◄ Фиксируем произвольную точку . Пусть B – матрица с условием , тогда по теореме о решения задачи Коши решение системы (2) ( (2)), удовлетворяющее начальным условиям . В этом случае – ФСР, так как , поскольку матриц B с условием бесконечно много, то и ФСР бесконечно много. Пусть теперь – фиксированная ФМР, а – произвольная ФМР системы (2). Положим , тогда
,
то есть – матрица из решений системы (2), причем
= = = .
По теореме о единственности решения задачи Коши (для каждого столбца) получим на ►
Теорема:
Общее решение системы (2) имеет вид (3), где – ФСР системы (2), а – произвольные постоянные (из C).
Доказательство:
◄ ( ) из формулы (3) является решением системы (2) в силу ее линейности и однородности.
( ) Пусть – произвольное решение системы (2), а – ФСР системы (2). Фиксируем точку тогда система относительно :
имеет единственное решение , то есть ее определитель равен . Положим , тогда – решение системы (2) в силу ее линейности и однородности, причем по построению. По теореме о единственности решения задачи Коши на , то есть . ►
Теорема:
Общее решение неоднородной линейной системы (1) имеет вид:
,
где – частное решение системы (1), – ФСР, соответствующая однородной системе (2), а – произвольные постоянные. Это следует из теории линейных пространств и предыдущей теоремы.
- 2 Семестр.
- Лектор: Сухинин м. Ф.
- Канонические и нормальные системы оду. Порядок системы. Сведение системы к одному уравнению и наоборот.
- Лемма Арцелы (критерий компактности).
- Ломаные Эйлера и теорема Пеано.
- Теорема о единственности решения задачи Коши для систем оду. Следствие для оду n-го порядка. Случай линейного уравнения и линейной системы.
- Лемма о равномерной непрерывности.
- Непрерывность решения системы оду по начальным данным и параметру.
- 2) , , : & Это следует из открытости множества, непрерывности в точке и условия . Выберем , .
- Линейная зависимость и независимость вектор-функций. Определитель Вронского.
- Фундаментальная система решений (фср) для линейной однородной системы оду. Существование фср и их взаимосвязь. Общее решение линейной однородной неоднородной системы.
- Резольвента линейной системы оду и ее свойства.
- Построение линейной, однородной системы по известной фср. Формула Лиувилля.
- Линейные системы с постоянными коэффициентами и методы их решения Случай не нормализуемой системы.
- Нормальные линейные системы с постоянными коэффициентами и методы их решения
- Устойчивость решения по Ляпунову и асимптотическая устойчивость. Лемма Ляпунова об устойчивости.
- Лемма Ляпунова об асимптотической устойчивости и ее усиленный вариант.
- Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости по линейному приближению.
- Лемма Адамара.
- Дифференцируемости решения системы оду по начальным данным и параметру.
- Первые интегралы систем дифференциальных уравнений. Задание общего решения системы с помощью полной системы первых интегралов.
- Существование полной системы первых интегралов
- Линейные однородные УрЧп первого порядка. Связь с первыми интегралами соответствующей системы оду. Замечание о квазилинейных уравнениях.
- Квазилинейные УрЧп первого порядка. Две леммы о характеристиках.
- Теорема о существовании единственного решения задачи Коши для квазилинейных УрЧп первого порядка в случае пространственных переменных.
- По условию 4),
- Оператор Штурма-Лиувилля. Его собственные функции. Лемма о нулевом собственном значении.
- Представление решения краевой задачи для уравнения Штурма-Лиувилля через функцию Грина. Выражение функции Грина и ее свойства.