Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости по линейному приближению.

Теорема:

Рассмотрим систему (1). Пусть A – постоянная матрица с действительными коэффициентами, размера . А – n-мерная действительная вектор-функция, непрерывная по y в полуцилиндре: , причем – не зависит от x, где при .

Далее, пусть , где – собственное значение матрицы A (некоторые могут совпадать), . Тогда нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво.

Доказательство:

◄ Мы сведем эту теорему к проверке выполнимости условия леммы Ляпунова об асимптотической устойчивости.

По лемме: существует матрица T с условием : матрица будет иметь вид:

,

где – собственное значение матрицы A (некоторые могут совпадать), а

(a – из условия теоремы). Положим , подставим в (1):

(2).

Положим: , . Выполняется условие леммы Ляпунова об асимптотической устойчивости:

1) – верно,

2) , ,

Осталось проверить условие:

3) .

Заметим, что

1) ,

2) , .

Проверку условия 3) проведем в 3 этапа.

Сделаем некоторые оценки.

Пусть

, ,

тогда

Аналогично .

(3)

Запишем подробно систему (2):

Пусть – решение системы (1), а – решение системы (2), тогда

Оценим каждое .

.

.

при достаточно малых , так как при (то есть , ).

Возьмем произвольную точку из полуцилиндра , поскольку через эту точку проходят интегральная линия (по теореме о решения задачи Коши), то в этой точке будет

+ = ,

.

То есть выполняется условие леммы Ляпунова об асимптотической устойчивости. Следовательно нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво. ►