Лектор: Сухинин м. Ф.

Оглавление

Канонические и нормальные системы ОДУ. Порядок системы. Сведение системы к одному уравнению и наоборот. 3

Лемма Арцелы (критерий компактности). 5

Ломаные Эйлера и теорема Пеано. 7

Теорема о единственности решения задачи Коши для систем ОДУ. Следствие для ОДУ n-го порядка. Случай линейного уравнения и линейной системы. 8

Лемма о равномерной непрерывности. 11

Непрерывность решения системы ОДУ по начальным данным и параметру. 11

Линейная зависимость и независимость вектор-функций. Определитель Вронского. 13

Фундаментальная система решений (ФСР) для линейной однородной системы ОДУ. Существование ФСР и их взаимосвязь. Общее решение линейной однородной неоднородной системы. 15

Резольвента линейной системы ОДУ и ее свойства. 16

Построение линейной, однородной системы по известной ФСР. Формула Лиувилля. 17

Нахождение частного решения линейной неоднородной системы ОДУ методом вариации постоянных. Формула Коши. 18

Линейные системы с постоянными коэффициентами и методы их решения Случай нормализуемой системы. 18

Линейные системы с постоянными коэффициентами и методы их решения Случай не нормализуемой системы. 20

Нормальные линейные системы с постоянными коэффициентами и методы их решения 21

Устойчивость решения по Ляпунову и асимптотическая устойчивость. Лемма Ляпунова об устойчивости. 24

Лемма Ляпунова об асимптотической устойчивости и ее усиленный вариант. 25

Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости по линейному приближению. 28

Лемма Адамара. 30

Дифференцируемости решения системы ОДУ по начальным данным и параметру. 30

Первые интегралы систем дифференциальных уравнений. Задание общего решения системы с помощью полной системы первых интегралов. 33

Существование полной системы первых интегралов 34

Линейные однородные УрЧП первого порядка. Связь с первыми интегралами соответствующей системы ОДУ. Замечание о квазилинейных уравнениях. 35

Квазилинейные УрЧП первого порядка. Две леммы о характеристиках. 38

Теорема о существовании единственного решения задачи Коши для квазилинейных УрЧП первого порядка в случае пространственных переменных. 40

Оператор Штурма-Лиувилля. Его собственные функции. Лемма о нулевом собственном значении. 43

Представление решения краевой задачи для уравнения Штурма-Лиувилля через функцию Грина. Выражение функции Грина и ее свойства. 44