Канонические и нормальные системы оду. Порядок системы. Сведение системы к одному уравнению и наоборот.

Системой ОДУ называется система вида:

(1)

где . Пусть и якобиан , тогда по теореме о неявной функции можно выразить через остальные переменные то есть

(2).

Система (2) называется канонической, число называется порядком системы (2). Вектор – функция называется решением системы (1) или (2), если при подстановке этой вектор – функции в систему (1) или (2) получаем тождество.

Вектор – функция называется общим решением уравнений (1) или (2) в области или , если каждое решение системы (1) или (2), график которого лежит в G, может быть представлена в виде: при некотором наборе констант Система вида:

(3)

где , называется нормальной. Произвольная каноническая система (2) может быть сведена к нормальной с помощью введения новых неизвестных функций.

Введем новые неизвестные функции:

(4)

Тогда (2) сводится к виду: (5)

Системы (2) и (5) эквивалентны, система (5) нормальная. Порядки систем (2) и (5) одинаковы и равны , поэтому в дальнейшем в основном будем исследовать только нормальные системы (то есть вида (3)). Иногда нормальная система может быть сведена к одному ОДУ n-го порядка. Пусть дана система (3):

(3)

Продифференцируем первое уравнение из (3) один раз, два раза, … раз (если это возможно):

(6).

Допустим, что в рассматриваемой области, тогда по теореме о неявной функции можно выразить через остальные переменные, то есть

.

Подставим эти соотношения в последнее уравнение из (6), получим - ОДУ n-го порядка. Такое сведение не всегда возможно.

Пример:

, здесь