Лемма о равномерной непрерывности.

def: Метрическое пространство называется компактом, если из каждого покрытия его открытыми множествами (открытое покрытие) можно выделить конечное подпокрытие.

Лемма:

Пусть – метрические пространства, – метрический компакт, а – непрерывно на всем , тогда – непрерывно по и эта непрерывность равномерна по , то есть и , что , выполняется неравенство (то есть не зависит от k).

Доказательство:

◄ Выберем произвольно и . Надо найти . В силу непрерывности в точке имеем . Используя аксиому выбора можно считать, что задана функция на всем К. Заметим: , где – открытый шар в К, с центром в точке k, радиуса . В силу компактности К, имеем : . Положим , тогда , покажем, что это – искомое.

Пусть , , , тогда , , то есть . Имеем:

+ .

Так как:

– для первого слагаемого,

– для второго слагаемого. ►