Квазилинейные УрЧп первого порядка. Две леммы о характеристиках.

(1),

где − функции от класса , , причем

Геометрический смысл УрЧП (1).

Пусть − векторное поле в , − решение УрЧП (1) класса (то есть − по определению интегральная поверхность УРЧП (1)). Тогда − нормаль к интегральной поверхности и УрЧП (1) имеет вид

Таким образом, задача нахождения всех решений класса УрЧП (1) сводится к нахождению всех поверхностей класса вида , касающихся в каждой точке векторного поля .

def: Характеристической УрЧП (1) называется траектория системы ОДУ

(2)

(то есть проекция графика решения системы (2) на подпространство параллельно оси )

def: Система (2) называется системой уравнений характеристики УрЧП (1). Ее симметричная запись имеет вид:

.

Первая лемма о характеристиках

Пусть − решение класса УрЧП (1), а − решения системы

Тогда линия

является характеристикой УрЧП (1)

Доказательство:

◄ Надо доказать только последнее равенство из (2), так как остальные равенства выполняются по условию. Имеем

,

так как − решение УрЧП (1) ►

Следствие:

Если точка лежит на интегральной поверхности вида класса УрЧП (1), то характеристика УрЧП (1), проходящая через эту точку, целиком лежит на этой поверхности (то есть интегральная поверхности УрЧП (1) состоит из характеристик).

Доказательство:

◄ По теореме о решения задачи Коши через точку проходит единственная характеристика , далее по первой лемме о характеристиках (в силу единственности), то есть лежит на поверхности ►

Вторая лемма о характеристиках

Пусть −некоторая поверхность класса , удовлетворяющая следующему условию: “Если точка принадлежит этой поверхности, то характеристика УрЧП (1), проходящая через эту точку, целиком лежит на этой поверхности”. Тогда поверхность является интегральной для УрЧП (1).

Доказательство:

◄ Пусть − характеристика УрЧП (1), проходящая через точку . Тогда

, ,

так как через каждую точку поверхности проходит характеристика, на этой поверхности эта поверхность интегральная для УрЧП (1). ►