Дифференцируемости решения системы оду по начальным данным и параметру.

Теорема: Пусть – область в . – отрезок, а отображение непрерывно, , и так же непрерывны на , . Далее пусть – решение задачи Коши:

,

определенное на . Функции , , , при некотором . Причем , , .

Теперь Существует единственное решение задачи Коши:

,

определенное так же на , причем , дифференцируема по при и , удовлетворяет условию

(5).

(6)

Замечание: Формулы (5) и (6) получаются формальным дифференцированием по , подстановкой и дифференцированием по тождества

Доказательство:

◄ По теореме о непрерывном решении по начальным данным и параметру существует единственное решение задачи (3), (4), определенное на , при достаточно малых (то есть при ). Далее

,

где непрерывна при .

Положим

,

тогда является решением задачи Коши

,

функция ,

Далее . По теореме о непрерывности по начальным данным и параметру , где – решение задачи

и – удовлетворяет условиям (5), (6).

Теорема доказана. ►

Замечание: Все сказанное справедливо при близких к нулю, а не только при , то есть удовлетворяет уравнению

.

Это уравнение называется уравнением в вариациях.

Следствие 1: Пусть в предыдущей теореме и , тогда удовлетворяет условиям

Следствие 2: Пусть в предыдущей теореме и , тогда удовлетворяет условиям

− матрица Якоби и удовлетворяет условиям

то есть – резольвента линейной системы .

Следствие 3: Пусть в предыдущей теореме и , тогда удовлетворяет условиям