Резольвента линейной системы оду и ее свойства.

def: Резольвентой системы (2) называют отображение – множество невырожденных матриц порядка n, удовлетворяющих следующим условиям:

1) – ФМР системы (2),

2) .

Свойства:

1° – следует из определения.

2° Пусть – решение системы (2) с начальными условием , тогда .

Доказательство:

◄ Имеем

– решение системы (2),

причем . По теореме о единственности задачи Коши на . ►

3° (полугрупповое свойство)

Доказательство:

◄ Пусть – произвольный вектор из , тогда – значение в точке того решения системы (2), которое в точке равно (свойство 2°). – значения точки x того решения, которое в равно (свойство 2°), то есть того решения (в силу существования единственности), которое в точке равно . – значение в точке x того решения, которое в точке равно , в силу произвольного получаем требуемое. ►

4° . Это следует из 3°, так как (свойство 3°). Слева аналогично.

5°

Доказательство:

◄ = = = ►