Ломаные Эйлера и теорема Пеано.

Пусть G – область в (или в ), а отображение (или ) непрерывна на G. Тогда существует решение задачи Коши:

определенное на (единственности может не быть).

Доказательство:

◄ Пусть тогда существует область компактно лежащая в G. То есть

1. - ограничена,

2. замыкание

Такая, что (так как G – открыта, то в качестве можно взять окрестность точки , лежащей в G), то по теореме Вейерштрассе , , . Поэтому , что конус

, .

(в силу открытости G*)

Построим ломаные Эйлера (будем доказывать “вправо”, то есть на ; “влево” аналогично).

Узлы ломаной Эйлера:

Уравнения ломаной Эйлера:

,

где . Как в прошлом семестре, получим, что – обобщенное решение задачи Коши:

,

где , то есть удовлетворяет интегральному уравнению .

Аналогично (см. I семестр) графики ломаных Эйлера при всех лежат в Q, отсюда следует, что семейство ломаных Эйлера равномерно ограничено при . Покажем, что оно равностепенно непрерывно. Имеем:

=

семейство равностепенно непрерывно .

Придадим h последовательность значений . По лемме Арцелы из соответствующей последовательности ломаных Эйлера можно выделить равномерно сходящуюся на к некоторой непрерывной функции (векторной) подпоследовательность . Покажем, что – решение интегрального уравнения (3). Заметим, что график лежит в Q (в силу замкнутости Q).

Сделаем оценки:

+ + +

при , так как

= ,

при , на в силу оценок ,

и равномерной непрерывности на непрерывной функции (по теореме Кантора).

Аналогично: при на в силу оценок , по построению и равномерной непрерывности f на , отсюда следует – решение интегрального уравнения (3) и, в силу непрерывности решение задачи Коши (1), (2) (как и в первом семестре). ►

Аналогично прошлому семестру доказывается теорема о продолжении решения в - окрестности границы области и вплоть до границы области (“липшицевость” не нужна). Как было отмечено выше в теореме Пеано единственности нет.