2 Семестр.

Содержание

• 2 Семестр.
• Лектор: Сухинин м. Ф.
• Канонические и нормальные системы оду. Порядок системы. Сведение системы к одному уравнению и наоборот.
• Лемма Арцелы (критерий компактности).
• Ломаные Эйлера и теорема Пеано.
• Теорема о единственности решения задачи Коши для систем оду. Следствие для оду n-го порядка. Случай линейного уравнения и линейной системы.
• Лемма о равномерной непрерывности.
• Непрерывность решения системы оду по начальным данным и параметру.
• 2) , , : & Это следует из открытости множества, непрерывности в точке и условия . Выберем , .
• Линейная зависимость и независимость вектор-функций. Определитель Вронского.
• Фундаментальная система решений (фср) для линейной однородной системы оду. Существование фср и их взаимосвязь. Общее решение линейной однородной неоднородной системы.
• Резольвента линейной системы оду и ее свойства.
• Построение линейной, однородной системы по известной фср. Формула Лиувилля.
• Линейные системы с постоянными коэффициентами и методы их решения Случай не нормализуемой системы.
• Нормальные линейные системы с постоянными коэффициентами и методы их решения
• Устойчивость решения по Ляпунову и асимптотическая устойчивость. Лемма Ляпунова об устойчивости.
• Лемма Ляпунова об асимптотической устойчивости и ее усиленный вариант.
• Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости по линейному приближению.
• Лемма Адамара.
• Дифференцируемости решения системы оду по начальным данным и параметру.
• Первые интегралы систем дифференциальных уравнений. Задание общего решения системы с помощью полной системы первых интегралов.
• Существование полной системы первых интегралов
• Линейные однородные УрЧп первого порядка. Связь с первыми интегралами соответствующей системы оду. Замечание о квазилинейных уравнениях.
• Квазилинейные УрЧп первого порядка. Две леммы о характеристиках.
• Теорема о существовании единственного решения задачи Коши для квазилинейных УрЧп первого порядка в случае пространственных переменных.
• По условию 4),
• Оператор Штурма-Лиувилля. Его собственные функции. Лемма о нулевом собственном значении.
• Представление решения краевой задачи для уравнения Штурма-Лиувилля через функцию Грина. Выражение функции Грина и ее свойства.