1.10. Нескінченні десяткові дроби. Періодичні десяткові дроби

За допомогою ділення чисельника на знаменник будь-яке дробове невід’ємне число ( — цілі числа, ) можна перетворити на скінченний або нескінченний десятковий дріб. Наприклад, Для однаковості запису скінченні десяткові дроби і цілі числа будемо доповнювати нескінченною послідовністю нулів, наприклад Таким чином, будь-яке невід’ємне раціональне число можна подати у вигляді нескінченного десяткового дробу - де — ціла частина числа ; — його дробова частина. Таке подання можливе і для від’ємних раціо- нальних чисел.

Нескінченний десятковий дріб називають періодич­ним, якщо в нього, починаючи з деякого місця, одна цифра або група цифр повторюється, безпосередньо йдучи одна за одною. Групу цифр, що повторюються, називають періодом і записують у дужках. Так, замість 5,666… записують 5,(6) і читають: «п’ять цілих і шість у періоді».

Подання раціонального числа у вигляді десяткового дробу дістають за допомогою ділення. Запишемо, наприклад, число у вигляді десяткового дробу. Будемо ділити 7 на 12:

В остачі знову дістали 40, далі ділення можна не виконувати: як остачі, так і цифри в частці будуть повторюватися. Так, .

Читачам пропонується переконатися в тому, що .

Розглянемо теореми, що задають умови, за яких нескоротний дріб перетворюється на скінченний десятковий дріб або на нескінченний періодичний десятковий дріб.

Теорема. Нескоротний дріб можна перетворити на скінченний десятковий дріб тоді і тільки тоді, коли в розкладі знаменника даного дробу на прості множники містяться лише двійки і п’ятірки або