1.8. Десяткові дроби

Основні поняття. Десятковим дробом називають дріб, знаменник якого — число, що виражене одиницею з одним або кількома нулями, тобто дріб виду ( — ціле, — натуральне число). Десяткові дроби домовились записувати без знаменників: спочатку записують цілу частину, а далі чисельник дробової ча­стини. Цілу частину відокремлюють комою від чисельника дробової частини. При цьому чисельник дробової частини записують так, щоб у ньому було стільки цифр, скільки нулів у знаменнику. Якщо в чисельнику менше цифр, ніж нулів у знаменнику, то перед чисельником дописують відповідну кількість нулів. Наприклад,

Якщо до десяткового дробу приписати праворуч нуль, то діста­немо дріб, що дорівнює початковому. Наприклад, Якщо десятковий дріб закінчується нулем, то цей нуль можна відкинути, діставши дріб, що дорівнює початковому. Наприклад,

З двох десяткових дробів із різними цілими частинами менший той, в якого ціла частина менша: Щоб порівняти два дроби з однаковими цілими частинами, потрібно, приписавши праворуч нулі, зрівняти кількість десяткових знаків після коми в обох дробах і порівняти їхні дробові частини

Як і в цілій частині, значення цифр після коми в десятковому дробу залежать від їхнього місця (позиції). Наприклад, дріб можна подати так:

Таким чином, перша цифра 7 означає число десятих, друга — число сотих, а третя — число тисячних. Згідно з цим перший розряд після коми називають розрядом десятих, другий — розрядом сотих, третій — розрядом тисячних і т. д. Запис називають розкладом дробу 435,072 у вигляді суми розрядних доданків.

Дії з десятковими дробами. Додавання і віднімання десяткових дробів, як і натуральних чисел, зручно записувати «стовп- чиком»:

Щоб додати два десяткових дроби, необхідно: 1) у доданках зрівняти кількість знаків після коми; 2) доданки записати один під одним так, щоб кома опинилася під комою; 3) додати здобуті дроби за правилом додавання натуральних чисел; 4) у знайденій сумі поставити кому під комами в доданках.

Аналогічно формулюється правило для віднімання десяткових дробів.

Щоб помножити один десятковий дріб на інший, потрібно виконати множення, не звертаючи уваги на коми, а потім у добутку відокремити справа наліво комою стільки цифр, скільки їх після коми в обох множниках разом. Якщо в добутку дістанемо менше цифр, ніж їх потрібно відокремити комою, то попереду записуємо відповід­ну кількість нулів. За цим самим правилом множать натуральне число на десятковий дріб і десятковий дріб на натуральне число.

Приклади множення:

Розглянемо частинні випадки множення десяткових дробів. Щоб помножити десятковий дріб на 10, 100, 1000 і т. д., необхідно в цьому дробові перенести кому праворуч відповідно на 1, 3, 4 і т. д. цифри. Наприклад, ;

Щоб помножити десятковий дріб на 0,1, на 0,01, на 0,001 і т. д., потрібно в цьому дробові перенести кому ліворуч відповідно на 1, 2, 3 і т. д. цифри. Наприклад

При діленні десяткового дробу на натуральне число кома в част­ці ставиться тоді, коли закінчується ділення цілої частини. Якщо ціла частина менша за дільник, то у відповіді дістаємо нуль цілих. Щоб поділити число на десятковий дріб, потрібно в діленому і дільнику перенести кому праворуч на стільки цифр, скільки їх після коми в дільнику, а потім виконати ділення на натуральне число. Якщо в діленому після коми менше цифр, ніж у дільнику, то праворуч до нього потрібно дописати стільки нулів, щоб зрівняти кількість цифр після коми в діленому і дільнику.

Наприклад, поділимо на 1,1 на 0,02. Оскільки в діленому тільки одна цифра після коми, допишемо до нього праворуч один нуль і перенесемо в діленому і дільнику кому на дві цифри праворуч. У результаті дістанемо:

Приклади ділення чисел: