1.5. Взаємно-прості та прості числа. Нск та нсд. Ознаки подільності натуральних чисел Взаємно прості та прості числа

Означення. Натуральне число називаєтьсяпростим, якщо воно має рівно два натуральні дільники.

Якщо прості числа виписувати в ланцюжок за зростанням, то його початок буде такий: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, … .

Взаємно простими числами називаються числа і, у яких найбільший спільний дільник дорівнює 1.

Критерії взаємної простоти двох цілих чисел: числа тавзаємно прості тоді й тільки тоді, коли існують такі цілі числаі, що.

Властивості:

1. Якщо кожне з чисел івзаємно просте з числом, то добутоктакож взаємно простий з.

2. Якщо добуток ділиться наі при цьомувзаємно просте з, то тоді наобов’язково ділиться число

Теорема. Існує безліч простих чисел.

Лема. Якщо і— різні прості числа, то вони взаємно прості.

Теорема. (Основна теорема арифметики). Будь-яке натуральне число, крім одиниці, може бути єдиним способом подане у вигляді добутку простих чисел (якщо не враховувати порядок розміщення множників).

Нехай складене число а розкладено в добуток простих чисел, серед яких можуть бути й рівні між собою. Записуючи добуток однакових множників у вигляді степеня, дістаємо

де — різні прості дільники числа а; — деякі цілі додатні числа, що дорівнюють кількості повторів простих дільників у розкладі числа а. Наведену рівність називають канонічним розкладом натурального числа а на прості множ­ники.

Розкладаючи натуральні числа на прості множники, викори­стовують ознаки подільності. Множники звичайно записують у порядку їх зростання праворуч від вертикальної риски. Наведемо приклади таких розладів:

Таким чином, 190 = 2  5  19, 210 = 2  3  5  7, 360 = 2³  3²  5.

Теорема. Якщо k — спільне кратне чисел а і b, m — їхнє найменше спільне кратне, то k ділиться на m.

Теорема. Найменше спільне кратне двох взаємно простих чисел дорівнює їхньому добутку.

Наслідок. Для того щоб число а ділилось на кожне з взаємно простих чисел b і с, необхідно і достатньо, щоб воно ділилось на їхній добуток.

Теорема. Для того щоб числа а і b були взаємно простими, необхідно і достатньо, щоб жодний з простих множників, що входять до складу канонічного розкладу числа а, не входив у канонічний розклад числа b.

1. Виконати дії:

а) б)

в)

г)

2. Знайти значення виразу:

а)

б) якщо

3. Довести твердження:

а) одне з двох послідовних парних чисел ділиться на 4;

б) якщо а — просте число, більше за 3, то одне з двох чисел або ділиться на 3;

в) квадрат непарного числа при діленні на 8 дає в остачі одиницю;

г) при простому натуральному число ділиться на 24;

д) якщо n — натуральне число, то:

—натуральне число; — натуральне число;

е) ділиться на 10; ж) ділиться на 2.