1.1. Натуральні числа

Числа, використовувані при лічбі предметів, називають натуральними. Зображають їх символами

0, 1, 2, 3, 4, 5,…

Множину натуральних чисел, упорядкованих у строго визначеній послідовності, називають натуральним рядом чисел, або скорочено натуральним рядом.

Те з двох натуральних чисел, яке в натуральному ряді стоїть ближче до 1 (тобто яке при лічбі з’являється раніше), називається меншим, друге — більшим. Отже, у натуральному ряді кожне чис­ло, крім 1, більше за попереднє; 1 — найменше натуральне число, але найбільшого натурального числа не існує.

Хоч би яким великим було натуральне число, існує ще більше число, яке йде за ним. Натуральний ряд нескінченний. Позначають натуральний ряд .

Будь-яке натуральне число можна записати за допомогою десяти цифр знаків — 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Цифри 0, 2, 4, 6, 8 називають парними, а цифри 1, 3, 5, 7, 9 — непарними. Значення цифри в запису числа залежить від місця, яке вона займає, тобто від її позиції. Наприклад, у запису 333 перша ліворуч трійка позначає три сотні, друга — три десятки, третя — три одиниці. З огляду на це зазначену систему запису чисел називають десятковою системою числення.

Щоб прочитати число, записане в десятковій системі, його позначення справа наліво розбивають на групи, по три цифри в кож­ній. Перші три цифри праворуч (одиниці, десятки і сотні) утворюють клас одиниць, три наступні (одиниці тисяч, десятки тисяч, сотні тисяч) — клас тисяч, далі йдуть клас мільйонів, клас мільяр­дів і т. ін.

Розширимо ряд натуральних чисел, приєднавши до нього число 0. Нуль вважається числом, що передує всім натуральним числам. Ряд натуральних чисел з числом 0 позначають N₀.

Із натуральними числами можна виконувати арифметичні дії: додавання, віднімання, множення та ділення.

Додавання натуральних чисел підпорядковане переставному (комутативному) та сполучному (асоціативному) законам, що виражаються відповідними рівностями:

1)  2)  для будь-яких значень . Ці рівності означають таке: 1) від перестав­лення доданків значення суми не змінюється; 2) щоб до суми двох чисел додати третє число, достатньо до першого числа додати суму другого та третього.

Відняти від натурального числа натуральне число — означає знайти таке натуральне число яке в сумі з числом дає . Число називають різницею чисел і Число називають зменшуваним, число — від’ємником. Різниця є натуральним числом, коли . Іншими словами, у множині натуральних чисел віднімання можливе лише тоді, коли зменшуване більше за від’ємник. Різниця показує, на скільки одиниць число більше за число Зазначимо, що

Добутком натурального числа на натуральне число більше за 1, називають суму доданків, кожний з яких дорівнює і позначають або Числа і називаються множниками. Дія знаходження добутку чисел і називається множенням.

Добутком числа на 1 називають саме число тобто За означенням вважають, що

Множення чисел має переставну та сполучну властивості, що виражаються для будь-яких значень відповідно рівностями:

1) 2)

Ці рівності означають таке: 1) від зміни місць множників значення добутку не змінюється; 2) щоб добуток двох чисел помножити на третє число, достатньо помножити перше з них на добуток другого і третього.

Будь-яке натуральне число у десятковій системі числення можна розкласти за розрядами, тобто подати у вигляді суми розрядних доданків (одиниць, десятків, сотень, тисяч і т. д.):

де кожне з — одне з чисел 0, 1, 2, 3, …, 9; — цифри одиниць; — цифри десятків і т. д.

Наприклад,

Розкладання числа на розряди використовують для обґрунтування правил додавання, віднімання і множення багатоцифрових чисел; при цьому використовують основні властивості цих дій.

Приклад. Додамо числа 234 і 561. Кожний доданок спочатку подамо у вигляді суми розрядних доданків: Додаючи ці числа і застосовуючи переставний і сполучний закони додавання, дістаємо: Цим пояснюється правило додавання натуральних чисел «стовпчиком»:

Приклад. Помножимо число 23 на 8. Число 23 розкладемо на розряди Дали маємо: . Це можна записати так

або

Поділити натуральне число на натуральне число — означає знайти таке натуральне число при множенні якого на число дістаємо Таким чином, якщо то або Число називається часткою чисел і , число — діленим, число — дільником числа З означення ділення випливає, що (оскільки).

Зауваження. Жодне число не можна ділити на нуль. Справді, поділити число на нуль — означає знайти таке число що Якщо то ця рівність суперечлива, бо за будь якого Якщо то при будь-якому тому неможливо вказати одне визначене значення Отже, ділити чис­ло на нуль не можна! Не можна ділити і 0 на 0!