2.2. Ділення многочленів

Однією із важливих вій в алгебрі є дія ділення многочленів.

Розглянемо ділення многочлена на многочлен степеня

де — натуральні числа. Ділення можливе, якщо степінь многочлена-діленого не менший за степінь многочлена-дільника тобто коли і — не нуль-многочлен.

Поділити многочлен на многочлен — означає знайти два таких многочлени і щоб

(1)

При цьому многочлен степеня називають многочленом-часткою, — многочленом-остачею.

Якщо дільник — не нуль-многочлен, то ділення на завжди виконуване, а частка і остача визначаються остаточно.

У тому разі, коли при всіх тобто кажуть, що многочлен ділиться (або націло ділиться) на многочлен

Для ділення многочлена, що залежить від однієї змінної х, на многочлен меншого степеня використовують такий алгоритм ділення стовпчиком:

1. Розмістити доданки в многочленах у порядку спадання степеня змінної.

2. Поділити перший доданок діленого многочлена на перший доданок дільника і результат написати в частку.

3. Помножити результат на дільник і відняти його від ді- леного.

4. Виконати зі здобутим після віднімання многочленом дії згід­но з п. 2 і 3.

Повторювати зазначені операції доти, доки після віднімання не дістанемо або нуль, або многочлен степеня, меншого, ніж у дільника. Цей многочлен називається остачею.

Приклад. Виконати ділення многочленів:

(12х² – 5х – 7х³ + 3 + 3х⁴) : (3 + х² – 2х).

• 1. Розмістимо доданки в многочленах у порядку спадання степенів змінної х:

12х² – 5х – 7х³ + 3 + 3х⁴ = 3х⁴ – 7х³ + 12х² – 5х + 3 — ділене;

3 + х² – 2х = х² – 2х + 3 — дільник.

2. Поділимо перший член діленого 3х⁴ на перший член дільника х². У результаті знайдемо перший член частки 3x².

3. Помножимо 3х² на дільник і здобутий результат 3x⁴ – 6х³ + + 9х² віднімемо від діленого. Дістанемо –х³ + 3x² – 5х + 3.

4. Поділимо перший член результату –х³ на перший член дільника х² і знайдемо –х — другий член частки.

5. Помножимо другий член частки на дільник і знайдений добуток –х³ + 2х² – 3х віднімемо від результату п. 3. Дістанемо х² – – 2х + 3.

6. Поділимо результат х² – 2х + 3 на дільник х² – 2х + 3. Дістанемо 1 — третій член частки. Остача від ділення дорівнює 0.

Запишемо ділення у вигляді:

Отже, дістали відповідь: 3x² – х + 1.

Приклад. Алгоритм ділення многочленів:

Отже, згідно з (1) можемо записати:

Розглянемо ділення з остачею многочлена де …, — задані числа, на двочлен

Згідно з (1) дістаємо:

(2)

де — частка; — остача. Оскільки степінь многочлена-остачі має бути меншим за степінь многочлена-дільника тобто менший від одиниці, то остача — деяке число.

Знайдемо коефіцієнти …, частки

Рівність (2) запишемо у вигляді

і виконаємо множення у правій частині:

Сума здобутого многочлена і остачі має тотожно дорівнювати многочлену

Два многочлени, одного й того самого степеня відносно змінної задані у стандартному вигляді, вважають рівними між собою, коли тотожно рівні коефіцієнти їх подібних членів.

Порівнюючи коефіцієнти при однакових степеня х змінної здобутого многочлена і многочлена маємо:

…,

Звідси послідовно знаходимо коефіцієнти многочлена

…,

Щоб знайти коефіцієнти многочлена-частки зручно скористатися методом, який називають схемою Горнера. Цей метод полягає ось у чому.

У верхньому рядку записують послідовно всі коефіцієнти многочлена-діленого. У нижньому рядку на одну позицію ліворуч від a_n записують число с. Заповнюючи нижній рядок, ураховують, що старший коефіцієнт многочлена-частки дорівнює старшому коефіцієнту многочлена-діленого, а тому під старшим коефіцієнтом многочлена-діленого записують цей самий коефіцієнт. Кожне наступне число нижнього рядка знаходять додаванням до відповідного коефіцієнта верхнього рядка добутку попереднього числа нижнього рядка і числа с. В останній позиції ниж­нього рядка під вільним членом многочлена-діленого дістаємо остачу. Усі числа нижнього рядка, крім числа с, є коефіцієнтами многочлена-частки.

У розглядуваному випадку ділення многочлена на схема Горнера матиме такий вигляд:

Приклад. Знайти частку і остачу при діленні многочлена на двочлен

• Складемо схему Горнера (тут ):

Маємо, числа 6, –28 і 44 — шукані коефіцієнти частки. Отже, частка подається у вигляді а остача дорівнює –85.

Розглянемо теорему, яка дає змогу знаходити остачу від ділення многочлена на двочлен не виконуючи самого ділення.

Теорема (Безу). Остача від ділення многочлена на двочлен дорівнює значенню многочлена при тобто

Справді виконавши ділення многочлена на двочлен дістанемо (згідно з (2)) де остача — деяке число.

Вважаючи маємо Таким чином,

Приклад. Знайти остачу від ділення многочлена на двочлен

Для знаходження остачі обчислимо значення многочлена при

Шукана остача

Зауваження. Остача від ділення многочлена на двочлен дорівнює .

Наслідок. Для подільності многочлена на двочлен необхідно і достатньо, щоб число с було коренем многочлена

Покажемо, що коли многочлен ділиться на то — корінь многочлена тобто що умова необхідна.

Справді, якщо ділиться на то остача Водночас (за теоремою Безу), Отже, а це означає (за означенням), що — корінь многочлена

Умова достатня, оскільки якщо — корінь многочлена то (за означенням) Водночас (за теоремою Безу), Отже, тобто ділиться на

З теореми Безу випливають і інші наслідки. Сформулюємо їх без доведення.

1. Якщо — різні корені многочлена то многочлен ділиться на добуток

2. Якщо то кількість різних коренів многочлена не перевищує його ступеня.

3. Якщо — усі корені многочлена то .

4. Многочлен ділиться на двочлен при будь-якому натуральному

5. Многочлен ділиться на двочлен при будь-якому парному

6. Многочлен ділиться на двочлен при будь-якому непарному

Многочлен зі старшим коефіцієнтом, що дорівнює одиниці, називають зведеним многочленом.

Для відшукання коренів многочленів можна скористатися такими теоремами.

Теорема (про дробові корені). Зведений многочлен із цілими коефіцієнтами не може мати дробових раціональних коренів.

Теорема (про цілі корені). Кожний цілий корінь многочлена з цілими коефіцієнтами є дільником вільного члена.

Приклад. Знайти корені многочлена

• Спочатку спробуємо знайти цілі корені цього многочлена. Згідно з теоремою про цілі корені такими коренями можуть бути лише дільники вільного члена, тобто числа 1 і –1. Дослідимо чис­ло Таким чином, чис­ло –1 не є коренем многочлена. Дослідивши число 1, дістанемо а отже, число 1 — цілий корінь многочлена.

Згідно з наслідком із теореми Безу даний многочлен ділиться на двочлен Визначимо частку від ділення даного многочле­на на Коефіцієнти частки знайдемо за схемою Горнера: